Potenčna vrsta

Predloga:Infinitezimalni račun Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-a)}^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+a_3(x-a{)}^3+\cdots$

kjer je a_n koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.

V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots .$

Uporaba potenčnih vrst

Potenčne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapis celih števil se lahko gleda kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-adičnih števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.

Zgledi potenčnih vrst

Elementarne funkcije

Vsak polinom se lahko razvije v potenčno vrsto okrog poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom $f(x)=x^2+2x+3$ se lahko na primer zapiše kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:

$f(x)=3+2x+1x^2+0x^3+0x^4+\cdots$

ali okrog središča $a=1$ kot:

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1{)}^2+0(x-1{)}^3+0(x-1{)}^4+\cdots$

ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste se lahko gleda kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.

Geometrična vrsta:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,|x|\in (-\mathrm{\infty },1],$

je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,|x|\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }).$

Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!x^n=1+1!x+2!x^2+3!x^3+\cdots ,x\ne 0.$

Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je $x^{1/2}$. Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti $a_n$ ne smejo biti odvisni od spremenljivke $x$. Tako na primer vrsta:

$\sin (x)x+\sin (2x)x^2+\sin (3x)x^3+\cdots$ ni potenčna vrsta.

Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:

• logaritemski funkciji:

$\log (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\pm \cdots ,|x|\in (-\mathrm{\infty },1],$

$\log (1-x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-[x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots ],|x|\in (-\mathrm{\infty },1],$

• kvadratna korena:

$(1\pm x{)}^{1/2}=1\pm \frac{1}{2}x-\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}{x}^2\pm \frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}{x}^3-\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}{x}^4\pm \cdots ,|x|\in (-\mathrm{\infty },1].$

• kotne funkcije:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\pm ...,|x|\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\pm ...,|x|\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),$

$\mathrm{t}\mathrm{g}x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+...+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{B}_n{x}^{2n-1}+...,|x|\in (-\mathrm{\infty },\frac{\pi }{2}).$

Neelementarne funkcije

S potenčnimi vrstami se lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:

$\int \frac{e^x}{x}\mathrm{d}x,$

ki ni elementaren. Funkcijo $e^x/x$ se razvije v potenčno vrsto:

$\frac{e^x}{x}=\frac{1}{x}+1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\cdots .$

Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po členih:

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{e^x}{x}\mathrm{d}x=\log \frac{x}{a}+\frac{x-a}{1!}+\frac{x^2-a^2}{2!2}+\frac{x^3-a^3}{3!3}+\cdots ,a\in [0,x].$

Konvergenčni polmer

Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a| < r konvergirala in divergirala za |x − a| > r. Število r (tudi označbi R ali $\rho$) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\left|a_n\right|}^{-\frac{1}{n}},$

oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):

$r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left|a_n\right|}^{\frac{1}{n}}$

(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, se jo lahko izračuna kot:

$r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$

Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:

• $|x-a|<r$ - potenčna vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici {x : |x − a| < r},

• $|x-a|>r$ - potenčna vrsta divergira,

• $|x-a|=r$ - v splošnem se ne da reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.

Operacije s potenčnimi vrstami

Seštevanje in odštevanje

Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okrog istega središča a, se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-a{)}^n,$

je enaka:

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)(x-a{)}^n$

Množenje in deljenje

Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:

$f(x)g(x)=[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n][\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-a{)}^n]=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-a{)}^{i+j}$

$f(x)g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right](x-a{)}^n.$

Zaporedje $m_n:=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ je znano kot konvolucija zaporedja $a_n$ in $b_n$.

Za kvocient je:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-a{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-a{)}^n$

$f(x)=[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-a{)}^n][\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-a{)}^n]$

in se uporabi produkt z upoštevanjem koeficientov.

Odvajanje in integriranje

Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko se jo brez težav odvaja ali integrira po členih:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-a)}^{n-1}$

$\int f(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-a)}^{n+1}}{n+1}+C$

Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld