Singularna točka krivulje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk $(x,y)$, ki zadoščajo enačbi z obliko $f(x,y)=0$, kjer je f polinomska funkcija $f:R^2\to R$. Funkcijo f razvijmo kot

$f=a_0+b_{0}x+b_{1}y+c_0{x}^2+2c_{1}xy+c_2{y}^2+\dots$.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja $a_0=0$. Če pa je $b_1\ne 0$, nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $y=h(x)$. Podobno lahko zapišemo, če je $b_0\ne 0$, potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $x=k(y)$. V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

$b_0=\frac{\partial f}{\partial x},b_1=\frac{\partial f}{\partial y},$.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0$.

Regularne točke

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo $y=mx$. V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

$f=a_0+b_{0}x+b_{1}y+c_0{x}^2+2c_{1}xy+c_2{y}^2+\dots$

Kadar vrednost izraza $b_0+m{b}_1$ ni enaka 0 takrat ima enačba $f=0$ eno rešitev v $x=0$. Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico $y=mx$. Če pa je $b_0+m{b}_1=0$, potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica $y=mx$ ali $b_{0}x+b_{1}y=0$ je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta $b_0$ in $b_1$ enaka 0 in je vsaj eden od $c_0,c_1,c_2$ ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je $y=mx$, lahko zapišemo

$f=(c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2)x^2+(d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+d_3{m}^3)x^3+\dots$.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c₀+mc₁+m²c₂=0.

Dvojne točke

Kadar je $c_0+m{c}_1+m^2{c}_2=0$ dobimo dve realni rešitvi. Če pa je $c_0{c}_2-c_2^2<0$ se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe $c_0+m{c}_1+m^2{c}_2=0$. Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke

Kadar enačba $c_0+m{c}_1+m^2{c}_2=0$ nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata

Če $c_0+m{c}_1+m^2{c}_2=0$ nima realnih rešitev in je $c_0{c}_1-c_1^2=0$, potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi

• teorija singularnosti

Zunanje povezave

• Singularne točke (poglavje II) Predloga:Ikona en