Pascalov polž

Nastanek Pascalovega polža.

Pascalov polž (tudi samo polž) je vrsta rulete, ki nastane takrat, ko se krožnica zavrti po zunanji strani enako velike krožnice. Te vrste krivulj spadajo v družino središčnih trohoid oziroma med epitrohoide. Po obliki lahko imajo notranje ali zunanje zanke, lahko imajo obliko srca ali celo ovala. Pascalov polž je dvokrožna racionalna algebrska ravninska krivulja s stopnjo 2.

Prvi je proučeval krivuljo polž francoski matematik Étienne Pascal (1623 – 1662), oče znanega francoskega matematika, filozofa in fizika Blaisa Pascala (1623 – 1662).

Trije polži: samo z jamico (vboklino), s konico (srčnica) in z zanko.

Pascalov polž v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba Pascalovega polža:

$r=b+a\cos \theta .$

Pascalov polž v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba:

$(x^2+y^2-ax{)}^2=b^2(x^2+y^2).$

Pascalov polž v parametrični obliki

Parametrična oblika enačbe Pascalovega polža je:

$x=\frac{a}{2}+b\cos \theta +\frac{a}{2}\cos 2\theta ,y=b\sin \theta +\frac{a}{2}\sin 2\theta .$

Pascalov polž v kompleksni ravnini

V kompleksni ravnini enačba Pascalovega polža zavzame obliko:

$z=\frac{a}{2}+b{e}^{i\theta }+\frac{a}{2}{e}^{2i\theta }.$

Če se jo premakne vodoravno za $a/2$, se dobi običajno obliko središčne trohoide:

$z=b{e}^{it}+\frac{a}{2}{e}^{2it}.$

Povezave z drugimi krivuljami

• naj bo $P$ točka in $C$ naj bo krožnica katere središče ni $P$. V tem primeru je ovojnica teh krožnic, katerih središča ležijo na krivulji $C$ in gredo skozi $P$ Pascalov polž.
• nožiščna krivulja krožnice je Pascalov polž.
• konhoida krožnice glede na točko na krožnici je Pascalov polž
• posebni primer Desartesovega ovala je Pascalov polž
• Pascalov polž je epitrohoida, če imata vrteča se in negibna krožnica enake polmere.
• Pascalov polž je katakavstika krožnice za žarke, ki prihajajo iz točke, ki je na končni razdalji od oboda.

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Pascalov polž na www.2cuves.com Predloga:Ikona en
• Pascalov polž v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Predloga:Ikona fr