Središčni binomski koeficient

n-ti središčni binomski koeficient je v matematiki določen z binomskim koeficientom kot:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}=\frac{2^n(2n-1)!!}{n!},(n\ge 0).$

Tu je n! funkcija fakulteta in n!! dvojna fakulteta. Binomski koeficienti se imenujejo središčni (centralni), ker se pojavljajo točno na sredi sodih vrstic v Pascalovem trikotniku:

										$\underset{\_}{1}$
									$1$		$1$
								$1$		$\underset{\_}{2}$		$1$
							$1$		$3$		$3$		$1$
						$1$		$4$		$\underset{\_}{6}$		$4$		$1$
					$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
				$1$		$6$		$15$		$\underset{\_}{20}$		$15$		$6$		$1$
			$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
		$1$		$8$		$28$		$56$		$\underset{\_}{70}$		$56$		$28$		$8$		$1$
	$1$		$9$		$36$		$84$		$126$		$126$		$84$		$36$		$9$		$1$
$1$		$10$		$45$		$120$		$210$		$\underset{\_}{252}$		$210$		$120$		$45$		$10$		$1$

Prve vrednosti središčnih binomskih koeficientov za n ≥ 0 so Predloga:OEIS:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, ... .

V Pascalovi matriki se pojavljajo po njeni diagonali:

$A_{10,10}=\left[\begin{array}{cccccccccc}\underset{\_}{1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& \underset{\_}{2}& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 1& 3& \underset{\_}{6}& 10& 15& 21& 28& 36& 45& 55\\ 1& 4& 10& \underset{\_}{20}& 35& 56& 84& 120& 165& 220\\ 1& 5& 15& 35& \underset{\_}{70}& 126& 210& 330& 495& 715\\ 1& 6& 21& 56& 126& \underset{\_}{252}& 462& 792& 1287& 2002\\ 1& 7& 28& 84& 210& 462& \underset{\_}{924}& 1716& 3003& 5005\\ 1& 8& 36& 120& 330& 792& 1716& \underset{\_}{3432}& 6435& 11440\\ 1& 9& 45& 165& 495& 1287& 3003& 6435& \underset{\_}{12870}& 24310\\ 1& 10& 55& 220& 715& 2002& 5005& 11440& 24310& \underset{\_}{48620}\end{array}\right],$

Značilnosti

Za središčne binomske koeficiente velja rodovna funkcija:

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=1+2x+6x^2+20x^3+70x^4+252x^5+\cdots .$,

Wallisov produkt se lahko zapiše v asimptotični obliki za središčni binomski koeficient:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=2^{2n}\cdot \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},\text{ ko gre }n\to \mathrm{\infty }.$

Zadnji izraz se lahko preprosto izpelje s pomočjo Stirlingove formule. Lahko se na drugi strani uporabi za določitev konstante $\sqrt{2\pi }$ pred Stirlingovo formulo s primerjavo.

Enostavni meji sta dani z:

$\frac{4^n}{2n+1}\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\le 4^n,(n\ge 1).$

Boljši meji sta:

$\frac{4^n}{\sqrt{4n}}\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}},(n\ge 1),$

in, če je potrebna še večja točnost:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}(1-\frac{c_n}{n}),$

kjer je:

$\frac{1}{9}<c_n<\frac{1}{8},(n\ge 1).$

Edini lihi središčni binomski koeficient je 1.

Sorodna zaporedja

Sorodna Catalanova števila C_n so dana z:

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!},(n\ge 0).$

Preprosta posplošitev središčnih binomskih koeficientov je dana kot:

$\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1{)}^2}=\frac{1}{n\mathrm{B}(n+1,n)},$

z odgovarjajočimi realnimi števili n, kjer je $\mathrm{\Gamma }(x)$ funkcija gama in $\mathrm{B}(x,y)$ funkcija beta.

Glej tudi

• Erdőseva domneva o deljivosti brez kvadrata
• središčni multinomski koeficienti

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Središčni binomski koeficient na PlanetMath.org Predloga:Ikona en
• Predloga:MathWorld