Funkcija beta

Funkcija beta, imenovana tudi Eulerjev integral prve vrste, je v matematiki specialna funkcija dveh argumentov, definirana kot:

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} {(1 - t)}^{y - 1} d t, (ℜ (x) > 0, ℜ (y) > 0) .

Funkcijo beta sta raziskovala Euler in Legendre, ime pa ji je dal Binet.

Značilnosti

Funkcija beta je simetrična, kar pomeni da argumenta lahko zamenjata mesti, in velja:

B (x, y) = B (y, x) .

Funkcijo beta se lahko zapiše v različnih oblikah.

Dokazati je mogoče, da se da funkcijo beta izraziti s funkcijo gama:

B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)} .

B (x, y) = 2 \int_{0}^{π / 2} (\sin θ)^{2 x - 1} (\cos θ)^{2 y - 1} d θ, (ℜ (x) > 0, ℜ (y) > 0),

B (x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x - 1}}{(1 + t)^{x + y}} d t, (ℜ (x) > 0, ℜ (y) > 0),

B (x, y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\binom{n - y}{n})}{x + n},

B (x, y) = \prod_{n = 0}^{\infty} {(1 + \frac{x y}{n (x + y + n)})}^{- 1},

B (x, y) B (x + y, 1 - y) = \frac{π}{x \sin (π y)},

B (x, y) = \frac{1}{y} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{y^{n + 1}}{n! (x + n)} .

Druga enakost kaže, da je $Γ (1 / 2) = \sqrt{π}$ .

Podobno kot funkcija gama za cela števila opisuje fakultete, lahko funkcija beta določa binomski koeficient s primernimi indeksi:

(\binom{n}{k}) = \frac{1}{(n + 1) B (n - k + 1, k + 1)} .

Funkcija beta je bila prva znana raztrosna amplituda v teoriji strun, kar je prvi domneval Veneziano. Pojavlja se tudi v teoriji procesa prednostne povezanosti, vrste stohastičnega procesa žare.