Statistična vsota

Statistična vsota (ali tudi particijska funkcija, navadno se jo označuje s črko Z) je v statistični mehaniki fizikalna količina, ki opisuje sistem v toplotnem ravnovesju. Za zaprti sistem z disktretnimi energijskimi stanji se jo lahko izračuna kot

$Z=\sum _i\exp (-\frac{E_i}{k_{\mathrm{B}}T}).$

Pri tem je E_i energija i-tega stanja, k_B Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura. Indeks i teče po vseh energijskih stanjih.

Statistična vsota igra pomembno vlogo pri številnih pojmih statistične mehanike.

Boltzmannova porazdelitev

Boltzmannova porazdelitev opisuje sistem razločljivih delcev v toplotnem ravnovesju pri dani temperaturi. Zanje velja, da verjetnostna gostota za zasedenost energijskega nivoja eksponentno pojema z njegovo energijo:

$w(E_i)=\frac{N_i}{\sum _i{N}_i}=\frac{e^{-E_i/k_{\mathrm{B}}T}}{\sum _i{e}^{-E_i/k_{\mathrm{B}}T}}.$

Imenovalec je ravno statistična vsota.

Odvisnost statistične vsote od temperature

Z naraščajočo temperaturo statistična vsota narašča. Če se izhodišče energijske skale postavi v osnovni energijski nivo, predstavlja statistična vsota merilo za to, kako je z naraščanjem temperature zasedenih vse več energijskih nivojev.

Prosta energija

Statistična vsota je povezana s termodinamičnim potencialom, imenovanim prosta energija F:

$Z=e^{-\beta F}.$

Zaradi krajšega zapisa se je vpeljala količina $\beta =1/(k_{\mathrm{B}}T)$, inverzno temperaturo.

Povprečna energija sistema

Če se pozna odvisnost statistične vsote od temperature, se lahko izračuna povprečno energijo sistema.

$⟨E⟩=\sum _{i}w(E_i)E_i=\frac{\sum _i{E}_i{e}^{-\beta E_i}}{\sum _i{e}^{-\beta E_i}}=\sum _i{E}_i{e}^{\beta (F-E_i)}.$

Slednjo vsoto se najlažje izračuna, če se odvaja po β naslednji izraz, ki velja zaradi normalizacije (po vseh stanjih morajo biti porazdeljeni ravno vsi delci):

$\sum _i{e}^{-\beta (F-E_i)}=1$

Velja:

$0=\frac{\partial }{\partial \beta }\sum _i{e}^{-\beta (F-E_i)}=\sum _i\frac{\partial }{\partial \beta }{e}^{-\beta (F-E_i)}=-F\sum _i{e}^{-\beta (F-E_i)}+\sum _i{E}_i{e}^{-\beta (F-E_i)}.$

Zadnji izraz je ravno iskani izraz. Odtod se dobi:

$⟨E⟩=\frac{\mathrm{d}(\beta F)}{\mathrm{d}\beta }.$

Glej tudi

• Boltzmannov faktor

Viri

• D. A. McQuarrie (1976), Statistical mechanics, New York, Harper & Row. Predloga:COBISS
• T. L. Hill (1986), An introduction to statistical thermodynamics, New York, Dover Publications. Predloga:COBISS