Steinerjev izrek

Slika:Fizvm valj001tv.png

Masni vztrajnostni moment valja okrog tvorilke ζ

Slika:Steiner izrek.png

Steinerjev izrek za vztrajnostni moment ploskve

Steinerjev izrek (tudi Huygens-Steinerjev izrek ali redkeje izrek o vzporedni osi) v fiziki podaja masni vztrajnostni moment J_ζ togega telesa okrog dane osi vrtenja ζ:

$J_{\zeta }=J^{\star }+m{r}^{\star 2},$

kjer je J^* vztrajnostni moment okrog vzporedne osi skozi težišče telesa, m masa telesa in r^* pravokotna razdalja med osema.

S Steinerjevim izrekom se včasih izognemo integriranju. Zgled je vztrajnosti moment valja okrog tvorilke ζ:

$J_{\zeta }=J_z+m{r}^{\star 2}=\frac{1}{2}m{r}^2+m{r}^2=\frac{3}{2}m{r}^2.$

Steinerjev izrek velja tudi za vztrajnostna momenta ploskve:

$I_u=I_x^{\star }+S{a}^{\star 2},$

$I_v=I_y^{\star }+S{b}^{\star 2}.$

Izrek se imenuje po švicarskem matematiku Jakobu Steinerju. Izreku rečejo včasih tudi Steinerjevo pravilo ali kar Steinerjeva enačba.

Izpeljava

Brez izgube splošnosti lahko privzamemo, da v kartezičnem koordinatnem sistemu pravokotna razdalja med osema leži vzdolž osi x in, da težišče leži v koordinatnem izhodišču. Masni vztrajnostni moment glede na os z, ki gre skozi težišče, je:

$J_z=\int (x^2+y^2)\mathrm{d}m.$

Masni vztrajnostni moment glede na novo os na pravokotni razdalji r^* vzdolž osi x iz težišča je:

$J_{\zeta }=\int ((x-r^{\star }{)}^2+y^2)\mathrm{d}m.$

Če izraz razširimo, dobimo:

$J_{\zeta }=\int (x^2+y^2)\mathrm{d}m+r^{\star 2}\int \mathrm{d}m-2r^{\star }\int x\mathrm{d}m.$

Prvi člen je J_z, drugi mr^*2, zadnji pa je enak 0, ker je izhodišče v težišču. Tako je končno:

$J_{\zeta }=J_z+m{r}^{\star 2},$

fr:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème d'Huygens ou théorème de Steiner)