Stohastična matrika

Stohastična matrika (tudi verjetnostna matrika ali matrika prehodov) je matrika, ki se v matematiki uporablja za opis prehodov v Markovskih verigah. Uporablja se tudi v teoriji verjetnosti, statistiki, linearni algebri in računalništvu.

Stohastično matriko označujemo s $P$, posamezne komponente (v vrstici ali stolpcu) pa s $p_{i,j}$

$P=\left(\begin{array}{ccccc}{p}_{1,1}& p_{1,2}& \dots & p_{1,j}& \dots \\ p_{2,1}& p_{2,2}& \dots & p_{2,j}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots \\ p_{i,1}& p_{i,2}& \dots & p_{i,j}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots \end{array}\right)$

V matrici so verjetnosti za enostaven prehod (z enim korakom) iz stanja $i$ v stanje $j$ označene s $p_{i,j}$. Vsaka vrstica ali stolpec v stohastični matrici je verjetnostni vektor (zaradi tega ga včasih imenujemo tudi stohastični vektor).

Nekatere lastnosti

Znanih je več vrst stohastičnih matrik:

• desna stohastična matrika
• leva stohastična matrik
• dvojno stohastična matrika

Desna stohastična matrika je kvadratna matrika, njene vrstice sestavljajo nenegativna realna števila, vsota vsake vrstice pa je 1. To opišemo na naslednji način:

$p_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j=1,2,\dots$ in $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1,\mathrm{\forall }i$

Leva stohastična matrika je kvadratna matrika, njene stolpce pa sestavljajo nenegativna realna števila tako, da je vsota v vsakem stolpcu enaka 1

$p_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j=1,2,\dots$ in $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1,\mathrm{\forall }j$.

Dvojno stohastična matrika (tudi bistohastična) je tista, ki je istočasno levo in desno stohastična, kar pomeni, da je vsota elementov v vsaki vrstici in stolpcu enaka 1. Primer takšne matrike je

$P=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,2& 0,4& 0,4\\ 0,3& 0,3& 0,4\end{array}\right)$.

Če sta $P$ in $Q$ dve levi ali desni (tudi dvojno) stohastični matriki, potem je tudi njun produkt $R=P.Q$ levo ali desno (dvojno) stohastična matrika.

Glej tudi

• verjetnostni vektor