Vivianijeva krivulja

Vivianijeva krivulja kot presek sfere in valja (v zeleni barvi).

Vivianijeva krivulja (tudi Vivianijevo okno) je zaprta prostorska krivulja, ki se jo dobi v preseku sfere in valja tako, da je valj tangenta na sfero in da teče skozi središče sfere.

Imenuje se po italijanskem matematiku in fiziku Vincenzu Vivianiju (1622 – 1703).

Krivulja se dobi s presekom sfere, ki ima polmer 2a in je njena enačba dana z:

$x^2+y^2+z^2=4a^2$

in valjem, ki ima središče v točki $(a,0,0)$ s polmerom $a$ in danim z enačbo:

$(x-a{)}^2+y^2=a^2.$

Krivulja je dana s parametričnimi enačbami:

$x=a(1+\cos (t)),$

$y=a\sin (t),$

$z=2a\sin \left(\frac{t}{2}\right).$

Dolžina loka

Vivianijeva krivulja ima dolžino loka:

$8\sqrt{2}aE(1/2\sqrt{2}),$

kjer je:

• $E(k)$ popolni eliptični integral druge vrste.

Funkcija dolžine loka pa je:

$2a\sqrt{2}E(1/2t,1/2\sqrt{2}).$

Ukrivljenost

Funkcija ukrivljenosti je:

$\kappa =\frac{\sqrt{13+3\cos t}}{a(3+\cos t{)}^{3/2}}.$

Vzvoj (torzija)

Funkcija vzvoja je:

$\tau (t)=\frac{6\cos \frac{1}{2t}}{a(13+3\cos t)}.$

Glej tudi

• presek sfere in valja

Zunanje povezave

• Vivianova krivulja v Encyclopedia of Science Predloga:Ikona en
• Vivianijeva krivulja na WolframAlphaPredloga:Slepa povezava Predloga:Ikona en
• Vivianijeva krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (tudi simulacije) Predloga:Ikona fr