Vrtnica (matematika)

Vrtnica (tudi rodoneja) je družina krivulj, ki so sinusoide narisane v polarnih koordinatah. Krivulje so si podobne, lahko jih podamo s pomočjo enačbe

r = \cos (k θ) .

kjer je $k$ celo število, ki določa obliko oziroma število listov, ki jih ima vrtnica, na naslednji način:

Ime rodoneja je krivulji dal rimskokatoliški duhovnik, filozof, matematik in inženir Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) med letoma 1723 in 1728 ^[1].

Lastnosti

Kadar se $k$ konča z 0,5 (primeri 0,5, 2,5, ….) ima krivulja 4 liste.
Kadar se $k$ konča z 1/3 ali 5/6 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2, 8,333333, …..) ima krivulja 12k listov
Kadar se k konča z 1/3 in je večji od 1 (primeri: 1,33334, 2,333334, ….) ima krivulja obliko vrtnice ter
- ima 3k listov, če je $k$ paren
- ima 6k listov, če je $k$ neparen
Kadar se k konča z 2/3 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2,66666667, …..) ima krivulja obliko vrtnice ter
- ima 6k listov, če je $k$ paren
- ima 3k listov, če je $k$ neparen

Kadar je $k$ racionalno število je krivulja zaprta in ima končno dolžino.
kadar pa je $k$ iracionalno število, je krivulja zaprta in ima neskončno dolžino.
Kadar je $k$ paren, se bo krivulja izrisala točno enkrat, med tem, ko se bo $θ$ povečal od 0 do $2 π$ .

Če ima krivulja enačbo

r = a \cos (k θ)

kjer je

\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (a \cos (k θ))^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} (π + \frac{\sin (4 k π)}{4 k}) = \frac{π a^{2}}{2}

in je za neparen $k$ enaka

\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (a \cos (k θ))^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (2 k π)}{4 k}) = \frac{π a^{2}}{4}

.

To velja tudi za vrtnice, ki so določene z enačbo

r = a \sin (k θ)

.