Zlata spirala

Zlate spirale so samopodobne. Njihova oblika se pri spreminjanju merila neskončnokrat ponavlja.

Zlata spirala je ravninska krivulja, ki se jo v polarnem koordinatnem sistemu (r, θ) opiše z enačbo:

$r=f(\theta )={\varphi }^{\frac{\theta }{\pi /2}}(1),$

kjer sta $\varphi$ število zlatega reza (zlato razmerje) in $\pi$ Ludolfovo število.

Konstrukcijo zlate spirale se približno izvede v zlatem pravokotniku s pomočjo četrtinskih lokov včrtanih krožnic v posamezna polja zlatega pravokotnika. Razdelitev zlatega pravokotnika na takšna polja prikazuje Slika 1:

Slika:Spirala1.png

Slika 1: Zlatorezna polja v zlatem pravokotniku

Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic znotraj zlatoreznih polj kaže Slika 2:

Slika:Spirala2.png

Slika 2: Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic

Polmeri lokov predstavljajo padajoče geometrijsko zaporedje s količnikom, enakim obratni vrednosti zlatega razmerja

$\phi =\frac{1}{\varphi }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(2),$

oblike

$r_n=r_1{\phi }^{n-1}(3).$

Zlata spirala spada v družino logaritemskih spiral (predlog za ime logaritemska spirala je podal francoski matematik Pierre Varignon (1645–1722)). Pomembna značilnost logaritemskih spiral je, da kot, ki ga tangenta na spiralo v poljubni točki oklepa z radijvektorjem, ostaja konstanten. Tako se lahko logaritemske spirale imenuje tudi enakokotne spirale (Slika 3).

Slika:Spirala4.png

Slika 3: Enakokotna spirala

Poleg Enačbe 1 je za zlato spiralo izpeljanih še več enačb, med njimi je zelo uporabna Sharpova:

$r=\left(1+2k\sin \left(\frac{4\varphi }{3}\right)\right)a{e}^{k\theta }(4),$

kjer je:

$k=\frac{2\ln \varphi }{3\pi }(5).$

Točka, ki predstavlja začetek zlate spirale (bolje rečeno njeno stekališče), ima koordinati:

$S(\frac{1+3\varphi }{5}e,\frac{3-\varphi }{5}e)(6),$

kjer je e poljubno izbrana enota za višino zlati spirali očrtanega zlatega pravokotnika.

Poleg omenjene konstrukcije zlate spirale znotraj zlatega pravokotnika so znane še druge, alternativne konstrukcije zlate spirale, denimo v zlatem trikotniku, zlatem petkotniku in podobne. Obstaja še konstrukcija velike zlate spirale s pomočjo tričetrtinskih krožnih lokov na zlatem pravokotniku. To prikazuje Slika 5.

Slika:Spirala5.png

Slika 5: Velika zlata spirala

Glej tudi

• zlati pravokotnik
• zlato razmerje
• število zlatega reza
• zlati kot
• Fibonaccijevo število
• seznam spiral

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld