Simplektična matrika

Simplektična matrika matrike $M$ je matrika z razsežnostjo $2n\times 2n$ za katero velja:

$M^T\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega },$

kjer je:

• $M^T$ transponirana matrika matrike $M$
• $M\mathrm{\Omega }$ je nesingularna poševnosimetrična matrika.

Običajno se za $\mathrm{\Omega }$ uporabi bločna matrika oblike:

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right],$

kjer je:

• $I_n$ enotska matrika z razsežnostjo $n\times n$

Značilnosti

• simplektična matrika je obrnljiva. Obratna matrika je

$M^{-1}={\mathrm{\Omega }}^{-1}{M}^T\mathrm{\Omega }.$

• produkt dveh simplektičnih matrik je zopet simplektična matrika. Tako množica simplektičnih tvori grupo. Obstoja tudi naravna mnogoterost v tej grupi, ki jo vključuje med Liejeve grupe in jo tam imenujemo simplektična grupa.
• determinanta simplektične matrike je ±1.
• če je $\mathrm{\Omega }$ dan v običajni obliki in ima matrika $M$ razsežnost $2n\times 2n$ ter ima obliko bločne matrike

$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

kjer so

• $A,B,C,D$ matrike $n\times n$

potem so pogoji, da je matrika $M$ simplektična, enaki naslednjim pogojem

$A^{T}D-C^{T}B=I$

$A^{T}C=C^{T}A$

$D^{T}B=B^{T}D$.

Glej tudi

• simplektični vektorski prostor
• simplektična grupa