Poševnosimetrična matrika

Poševnosimetrična matrika (tudi antisimetrična matrika) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^T=-A,$

kjer je:

• $A^T$ transponirana matrika matrike $A$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{ij}=-a_{ji}\mathrm{\forall }i,j\in \{1,\dots ,n\},$

kjer je:

• $a_{ij}$ element matrike $A$

Zgledi

$\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right);\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ -1& 0& 3\\ 2& -3& 0\end{array}\right).$

Značilnosti

• rang poševnosimetrične matrike je vedno sodo število.

Determinanta poševnosimetrične matrike

Če ima matrika $A$ razsežnost $n\times n$ sta pri izračunu determinante dve možnosti:

• $n$ je neparno število

$det(A)=det(A^T)=det(-A)=(-1{)}^{n}det(A)$

kar pomeni, da je $det(A)=0$. Ta rezultat se imenuje Jakobijevo pravilo (po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju (1804 – 1851)).

• $n$ je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike $A$ pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike $A$

to je

$det(A)={Pf(A)}^2$

kjer je

• $Pf(A)$ Pfaffova determinanta (pfafian) (ime ima po nemškem matematiku Johanu Friedrichu Pfaffu (1765 – 1825)) matrike $A$, ki se izračuna kot $\text{Pf(A)}=\pm \sqrt{\text{det(A)}}$. Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.

Glej tudi

• simetrična matrika
• seznam vrst matrik