Levi-Civitajev simbol

Levi-Civitajev simbol ali tudi permutacijski simbol je določen z:

Predstavitev Levi-Civitajevega simbola

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1;& \text{pri }(i,j,k)\text{ je }(1,2,3),(2,3,1)\text{ ali }(3,1,2)\\ -1;& \text{pri }(i,j,k)\text{ je }(3,2,1),(1,3,2)\text{ ali }(2,1,3)\\ 0;& \text{ sicer: }i=j\text{ ali }j=k\text{ ali }k=i\end{array}$

Simbol je vpeljal Tullio Levi-Civita. Zapišejo ga tudi kot (ijk). Uporablja se na mnogih matematičnih in fizikalnih področjih. V linearni algebri se lahko na primer vektorski produkt dveh vektorjev zapiše kot:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

ali preprosteje:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k.$

Takšen zapis se lahko še poenostavi z Einsteinovim zapisom:

$c_i={ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k.$

Tenzor katerega komponente so dane z Levi-Civitajevimi simboli (kovariantni tenzor ranga 3) se včasih imenuje permutacijski tenzor.

Vedno, kadar se med seboj zamenja dva indeksa, se spremeni znak. Tako velja:

${ϵ}_{ijk}=-{ϵ}_{ikj}.$

Levi-Civitajev simbol se lahko posploši na višje razsežnosti:

${ϵ}_{ijkl\dots }=\{\begin{array}{cc}+1;& \text{pri }(i,j,k,l,\dots )\text{ je soda permutacija }(1,2,3,4,\dots )\\ -1;& \text{pri }(i,j,k,l,\dots )\text{ je liha permutacija }(1,2,3,4,\dots )\\ 0;& \text{sicer pri dveh enakih indeksih}\end{array}$

Za definicijo sode in lihe permutacije glej soda permutacija ali grupa simetrij.

Simbol v tej zvezi je Kroneckerjeva delta. Med Levi-Civitajevim simbolom in Kroneckerjevo delta velja pomembna zveza:

${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}.$

Glej tudi

• 't Hooftov simbol