Vektorski produkt

Véktorski prodúkt je binarni operator v trirazsežnem prostoru. Rezultat je trirazsežni vektor, ki je pravokoten na oba vektorja. Operacija ni komutativna; če zamenjamo vrstni red vektorjev, bo rezultat vektor z enako dolžino, vendar bo usmerjen v nasprotno smer. Dolžina vektorja je enaka ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta vektorja. Vektorski produkt dveh linearno odvisnih vektorjev je enak ničelnemu vektorju. Če sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ v desnosučni ortonormalni bazi definirana kot

$\vec{𝐚} = ‖ \begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix} ‖$

in

$\vec{𝐛} = ‖ \begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix} ‖,$

se njun vektorski produkt izračuna kot:

$\vec{𝐚} \times \vec{𝐛} = ‖ \begin{matrix} a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} \\ a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} \\ a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} \end{matrix} ‖ .$

Pravilo si lažje zapomnimo kot determinanto matrike, kjer v prvo vrstico zapišemo vse tri bazne vektorje, v drugo vrstico komponente prvega vektorja, v tretjo vrstico pa komponente drugega vektorja, in determinanto razvijemo po prvi vrstici:

$\vec{𝐚} \times \vec{𝐛} = | \begin{matrix} \vec{𝐢} & \vec{𝐣} & \vec{𝐤} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | .$

Grafična predstavitev

Vektorski produkt

Če v skupni ravnini obeh vektorjev kot med njima označimo s $φ$ , je dolžina vektorskega produkta enaka:

$| \vec{𝐚} \times \vec{𝐛} | = | \vec{𝐚} | \cdot | \vec{𝐛} | \cdot \sin φ .$

Smer lahko določimo tako, da prvi vektor v njuni skupni ravnini zavrtimo do drugega v tisti smeri, kjer je zasuk krajši, in smer določimo po pravilu desnosučnega vijaka.

Lastnosti

Vektorski produkt je antikomutativen:

\vec{𝐚} \times \vec{𝐛} = - \vec{𝐛} \times \vec{𝐚},

Vektorski produkt je distributiven za seštevanje:

\vec{𝐚} \times (\vec{𝐛} + \vec{𝐜}) = \vec{𝐚} \times \vec{𝐛} + \vec{𝐚} \times \vec{𝐜},

Pri množenju s skalarjem lahko tega izpostavimo; (homogenost za množenje z realnim številom):

(r \vec{𝐚}) \times \vec{𝐛} = \vec{𝐚} \times (r \vec{𝐛}) = r (\vec{𝐚} \times \vec{𝐛}),

Vektorski produkt ni asociativen:

\vec{𝐚} \times (\vec{𝐛} \times \vec{𝐜}) \neq (\vec{𝐚} \times \vec{𝐛}) \times \vec{𝐜};

zanj pa velja Jacobijeva enakost:

\vec{𝐚} \times (\vec{𝐛} \times \vec{𝐜}) + \vec{𝐛} \times (\vec{𝐜} \times \vec{𝐚}) + \vec{𝐜} \times (\vec{𝐚} \times \vec{𝐛}) = 0 .

Zunanje povezave

http://www.e-studij.si/Vektorski_produkt Predloga:Webarchive

Predloga:Linearna algebra

Vektorski produkt

Grafična predstavitev

Lastnosti

Zunanje povezave

Navigacijski meni

Iskanje