Weibullova porazdelitev

Wiebullova (2 parametrična) porazdelitev
Slika:Weibull PDF 2 sl.PNG Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
Slika:Weibull CDF 2 sl.PNG Zbirna funkcija verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
oznaka	$Wei(\lambda ,k)$
parametri	$\lambda >0$ parameter merila (realno število) $k>0$ parameter oblike (realno število)
interval	$x\in [0;+\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-e^{-(x/\lambda {)}^k}$
pričakovana vrednost	$\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$
mediana	$\lambda (\ln (2){)}^{1/k}$
modus	$\lambda {\left(\frac{k-1}{k}\right)}^{\frac{1}{k}}$ če je $k>1$
varianca	${\lambda }^2\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mu }^2$
simetrija	$\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k}){\lambda }^3-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}$
sploščenost	(glej opis na levi strani))
entropija	$\gamma (1-\frac{1}{k})+\ln \left(\frac{\lambda }{k}\right)+1$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k}),k\ge 1$
karakteristična funkcija	$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k})$

Weibullova porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po Waloddiju Weibullu (1887 – 1979), ki je to vrsto porazdelitve opisal v letu 1951. Prvi pa jo je opisal francoski matematik Maurice René Fréchet (1878 – 1973).

Pomembno področje uporabe Weibullove porazdelitve je analiza preživetja oziroma analiza zanesljivosti (odpovedi) tehničnih naprav.

Za različne vrednosti parametra k velja :

• Če je k<1, pogostost odpovedi pada s časom. To se zgodi, če obstajajo pomembne začetne odpovedi posameznih komponent naprave.
• Kadar je k = 1 imamo stanje v katerem je število odpovedi konstantno v časovnem obdobju. To pomeni, da samo slučajni zunanji vplivi povzročajo odpovedi posameznih komponent naprave.
• Kadar pa je k>1, nam to pomeni, da število odpovedi raste s časom. To je lahko posledica staranja.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev je

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

kjer je

• $\lambda$ parameter merila, ki je realno število.
• $k$ parameter oblike, ki je prav tako realno število.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$1-e^{-(x/\lambda {)}^k}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$.

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$ funkcija gama.

Varianca

Varianca je enaka

${\lambda }^2\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-{\mu }^2$.

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})$ funkcija gama.

Sploščenost

Sploščenost je enaka je enaka

${\gamma }_2=\frac{-6{\mathrm{\Gamma }}_1^4+12{\mathrm{\Gamma }}_1^2{\mathrm{\Gamma }}_2-3{\mathrm{\Gamma }}_2^2-4{\mathrm{\Gamma }}_1{\mathrm{\Gamma }}_3+{\mathrm{\Gamma }}_4}{[{\mathrm{\Gamma }}_2-{\mathrm{\Gamma }}_1^2{]}^2}$

kjer je

• ${\mathrm{\Gamma }}_i=\mathrm{\Gamma }(1+i/k)$ funkcija gama.

Sploščenost lahko napišemo tudi kot

${\gamma }_2=\frac{{\lambda }^4\mathrm{\Gamma }(1+\frac{4}{k})-4{\gamma }_1{\sigma }^3\mu -6{\mu }^2{\sigma }^2-{\mu }^4}{{\sigma }^4}$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

$\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k}){\lambda }^3-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}$.

Entropija

Entropija je enaka

$\gamma (1-\frac{1}{k})+\ln \left(\frac{\lambda }{k}\right)+1$

kjer je

• $\gamma$ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k}),k\ge 1$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je enaka:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(it{)}^n{\lambda }^n}{n!}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{k})$

Weibullova porazdelitev s tremi parametri

Posplošitev Weibullove porazdelitve z dvema parametroma je Weibullova porazdelitev s tremi parametri. Zanjo je funkcija gostote verjetnosti enaka

$f(x;k,\lambda ,\theta )=\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x-\theta }{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(\frac{x-\theta }{\lambda }{)}^k}$

kjer je

• $\lambda$ parameter merila
• $k$ parameter oblike
• $\theta$ parameter lokacije.

Weibullovo porazdelitev z dvema parametroma dobimo, če je $\theta =0$.

Weibullova porazdelitev z enim parametrom

Weibullovo porazdelitev z enim prametrom dobimo, če je $k=C$ (konstanta) in je v porazdelitvi s tremi parametri vrednost $\theta =0$:

$f(x;\lambda )=\frac{C}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{C-1}{e}^{-(\frac{x}{\lambda }{)}^C}$

kjer je

• $\lambda$ parameter merila

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je parameter k enak 1, postane Weibullova porazdelitev eksponentna porazdelitev:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )\equiv \mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}(1,\frac{1}{\lambda })$.

• Kadar je k = 2, dobimo Rayleighovo porazdelitev

Uporaba

Weibullova porazdelitev se uporablja na naslednjih področjih

• analiza preživetja
• teorija ekstremnih vrednosti
• napovedovanje vremena
• analiza zanesljivosti tehničnih naprav
• analiza porazdelitve hitrosti vetra
• splošni model zavarovanja

Zunanje povezave

• Weibullova porazdelitev na MathWorld Predloga:Ikona en
• Primer uporabe Weibullove porazdelitve Predloga:Webarchive Predloga:Ikona sl
• Opis weibullove porazdelitve Predloga:Ikona en
• Simulacija Weibullove porazdelitve Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev