Karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve

Karakterístična fúnkcija verjétnostne porazdelítve (značilna funkcija verjetnostne porazdelitve) ali kar karakteristična funkcija v verjetnostnem računu in statistiki za poljubno slučajno spremenljivko popolnoma določa verjetnostno porazdelitev.

Karakteristična funkcija nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo karakteristične funkcije je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo zapleteno funkcijo porazdelitve.

Definicija

${\phi }_X:ℝ\to ℂ;{\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}d{F}_X(x)(=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)dx)$

kjer

• t je realno število
• E je pričakovana vrednost
• F je zbirna funkcija verjetnosti

Zgornji izraz velja samo, če obstoja $f(x)$ (funkcija gostote verjetnosti).
Uporabljeni integral je Rieman-Stieltjesov integral.
Slučajna spremenljivka je označena z X.

Če poznamo karakteristično funkcijo, lahko dobimo zbirno funkcijo verjetnosti na naslednji način:

$F_X(y)-F_Y(y)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{-r}{\overset{+r}{\int }}\frac{e^{-itx}-e^{+itx}}{it}.{\phi }_X(t)dt$.

Če integrabilno karakteristično funkcijo označimo s ${\phi }_X$ in je $F_X$ absolutno zvezna, ima slučajna spremenljivka X funkcijo gostote verjetnosti $f(x)$ dano z

$f_X(x)={F_X}^{\prime }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-itx}{\phi }_X(t)dt,$   če je X skalarna spremenljivka

Lévyjev izrek se imenuje po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971). Izrek pravi naslednje: če je ${\phi }_X$ karakteristična funkcija porazdelitve $F_X$, potem obstojata dve taki točki a<b, da velja

$F_X(b)-F_X(a)=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-T}{\overset{+T}{\int }}\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}{\phi }_X(t)dt,$   če je X skalarna spremenljivka

Velja tudi

$F_X(a)-F_X(a-0)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{+T}{\int }}{e}^{-ita}{\phi }_X(t)dt$,   za skalarno naključno spremenljivko X

Zgledi

Porazdelitev	Karakteristična funkcija φ(t)
degenerirana porazdelitev δa	$e^{ita}$
binomska porazdelitev B(n, p)	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
Poissonova porazdelitev Pois(λ)	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
normalna porazdelitev N(μ, σ2)	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
porazdelitev hi-kvadrat χ2k	$(1-2it{)}^{-k/2}$
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ)	$e^{it\mu -\theta |t|}$
porazdelitev gama Γ(k, θ)	$(1-it\theta {)}^{-k}$
eksponentna porazdelitev Exp(λ)	$(1-it{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)	$e^{i{t}^{\prime }\mu -\frac{1}{2}{t}^{\prime }\mathrm{\Sigma }t}$