Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev
Slika:Exponential distribution pdf sl.png Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
Slika:Exponential distribution cdf sl.png Zbirna funkcija verjetnosti za eksponentno porazdelitev.
oznaka	$Exp(\lambda )$
parametri	$\lambda >0$ parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila) (realno število)
interval	$[0,\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\lambda e^{-\lambda x}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-e^{-\lambda x}$
pričakovana vrednost	$\frac{1}{\lambda }$
mediana	$\frac{\ln (2)}{\lambda }$
modus	$0$
varianca	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
simetrija	$2$
sploščenost	$6$
entropija	$1-\ln (\lambda )$
funkcija generiranja momentov (mgf)	${(1-\frac{t}{\lambda })}^{-1}$
karakteristična funkcija	${(1-\frac{it}{\lambda })}^{-1}$

Eksponentna porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Opisuje časovne intervale med posameznimi dogodki v Poissonovi porazdelitvi. To so procesi, ki se enakomerno pojavljajo nepretrgoma in neodvisno.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za eksponentno porazdelitev je

$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

kjer je

• $\lambda >0$ parameter porazdelitve, ki ga imenujemo parameter stopnje (obratna vrednost parametra merila).

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{1}{\lambda }$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{1}{{\lambda }^2}$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka $6$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

${(1-\frac{t}{\lambda })}^{-1}$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

${(1-\frac{it}{\lambda })}^{-1}$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Minimum neodvisnih slučajnih spremenljivk, ki so porazdeljene eksponentno, je tudi eksponentno porazdeljena slučajna spremenljivka. Naj bodo $X_1,\dots ,X_n$ neodvisne slučajne spremenljivke, za katere velja $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\lambda }_i)$ in je $Y=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{i=1,\dots ,n}(X_i)$ . Potem velja tudi : $Y\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)$.
• Eksponentna porazdelitev je posebni primer porazdelitve gama

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )\equiv \mathrm{\Gamma }(1,1/\lambda )$

• Vsota neodvisnih eksponentnih porazdelitev ima gama porazdelitev. Naj bodo $X_1,\dots ,X_n$ neodvisne slučajne spremenljivke za katere velja $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\lambda }_i)$, potem velja tudi

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(n,\lambda )$.

• Eksponentna porazdelitev s parametrom $\lambda =1/2$ je poseben primer porazdelitve hi-kvadrat

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/2)\equiv {\chi }^2(2)$.

• Za slučajno spremenljivko $Y$ za katero velja, da ima Weibullovo porazdelitev, lahko zapišemo $Y\sim \mathrm{Weibull}(\gamma ,\lambda )$. Naj bo $Y=X^{1/\gamma }$. Slučajna spremenljivka $X$ naj ima pri tem eksponentno porazdelitev oziroma $X\sim \mathrm{Exp}({\lambda }^{-\gamma })$. Velja tudi, da ima vsaka eksponentna porazdelitev tudi Weibullovo porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka $Y$ naj ima Rayleighovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma )$. Pri tem naj bo $Y=\sqrt{2X{\sigma }^2\lambda }$. Slučajna spremenljivka $X$ pa naj ima eksponentno porazdelitev $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$.

• Če ima slučajna spremenljivka $Y$ Gumbelovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \mathrm{Gumbel}(\mu ,\beta )$. Naj velja $Y=\mu -\beta \log (X/\lambda )$. Pri tem ima slučajna spremenljivka $X$ eksponentno porazdelitev ali $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$.

• Slučajna spremenljivka $Y$ naj ima Laplaceovo porazdelitev, kar lahko zapišemo kot $Y\sim \mathrm{Laplace}$. Pri tem za dve eksponentno porazdeljeni neodvisni slučajni spremenljivki $X_1$ in $X_2$ velja $Y=X_1-X_2$

Zunanje povezave

• Opis eksponentne porazdelitve na MathWorld Predloga:Ikona en
• Eksponentna porazdelitev na Enginnering Statistics Handbook Predloga:Ikona en
• Online kalkulator Eksponentna porazdelitev

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev