Optično podvajanje frekvenc

Optično podvajanje frekvenc je nelinearen optični pojav, pri katerem na snov svetimo s svetlobo s frekvenco $\omega$, iz snovi pa dobimo tudi svetlobo z dvakratno frekvenco $2\omega$ oz. polovično valovno dolžino. Ta pojav je le poseben primer splošnejšega pojava, pri katerem vpada na snov valovanje z različnima frekvencama ${\omega }_1$ in ${\omega }_2$, pri izstopu pa dobimo tudi svetlobo s frekvenco enako vsoti ${\omega }_1+{\omega }_2$ oziroma razliki vstopnih frekvenc $|{\omega }_1-{\omega }_2|$.

Slika:ShemaSHG.png

Shematični prikaz optičnega podvajanja frekvenc.

Optično podvajanje frekvenc so prvi opazili P. A. Franken, A. E. Hill, C. W.Peters in G. Weinreich z Univerze v Michiganu, ZDA leta 1961. Fokusiran laserski snop z valovno dolžino 694 nm so poslali na vzorec SiO₂. S spektrometrom so pri procesu zaznali nastajanje svetlobe z valovno dolžino 347 nm. Njihova zgodba je prerasla v mit, ker je pred objavo urednik revije Physical Review Letters signal pri valovni dolžini 347 nm zamenjal za smet in ga retuširal s fotografskega papirja.

Pogoji za nastanek

Če snov postavimo v zunanje električno polje, se polarizira, saj se naboji znotraj snovi izmaknejo iz svojih ravnovesnih leg. V primeru podvajanja frekvenc je izvor električnega polja kar svetloba, s katero svetimo na snov. Do pojava podvajanja frekvenc pride le, če polarizacija snovi ni linearno odvisna od električne poljske jakosti svetlobe, ampak so pomembni tudi višji členi v razvoju. Zaradi tega pravimo, da je to nelinearen optičen pojav.

Če polarizacijo snovi razvijemo po potencah zunanjega električnega polja, ki jo povzroča

$P_i={ϵ}_0{\chi }_{ij}^{(1)}{E}_j+{ϵ}_0{\chi }_{ijk}^{(2)}{E}_j{E}_k$

bo predfaktor pri linearnem členu - optična susceptibilnost 1. reda ${\chi }_{ij}^{(1)}$ - veliko večja od predfaktorja pri kvadratičnem členu - ${\chi }_{ij}^{(2)}$. Zaradi tega bomo nelinearne pojave opazili šele, ko bo električno polje, ki ga povzoča svetloba, dovolj veliko. Kot izvor tako močne svetlobe zato uporabimo laser.

Vrednosti ${\chi }_{ij}^{(2)}$ so odvisne od simetrije snovi. Tako je pri centrosimetričnih kristalih (ki pri inverziji koordinatnega sistema enako izgledajo) ${\chi }_{ij}^{(2)}=0$ in pri njih podvajanja frekvenc ne bomo opazili.

Tudi če svetimo na necentrosimetrični kristal, v splošnem svetlobe s podvojeno frekvenco ne bomo dobili. Njena intenziteta bo odvisna od smeri vpadne svetlobe glede na kristal.

Intenziteta svetlobe s podvojeno frekvenco

Optimalna smer vpadne svetlobe je tista, pri kateri dobimo največjo intenziteto svetlobe s podvojeno frekvenco. Kako se električna poljska jakost svetlobe spreminja v kristalu, opišemo z valovno enačbo

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄-\frac{ϵ}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}={\mu }_0\frac{{\partial }^2{𝐏}_{NL}}{\partial t^2},P_{NLi}={ϵ}_0{\chi }_{ijk}^{(2)}{E}_j{E}_k$

kjer je ${𝐏}_{NL}$ nelinearni del polarizacije, električno polje $𝐄$ pa je vsota prispevkov svetlobe vseh frekvenc, ki se razširjajo po kristalu. Za primer, ko na kristal vpada svetloba s frekvencama ${\omega }_1$ in ${\omega }_2$ in iz kristala izhaja še svetloba frekvence ${\omega }_3={\omega }_1+{\omega }_2$, bi polje v kristalu zapisali kot:

$𝐄={𝐀}_{\mathrm{𝟏}}cos({𝐤}_1𝐫-{\omega }_{1}t)+{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}cos({𝐤}_2𝐫-{\omega }_{2}t)+{𝐀}_{\mathrm{𝟑}}cos({𝐤}_3𝐫-{\omega }_{3}t)$

pri čemer so $k_1,k_2,k_3$ valovni vektorji prisotnega svetlobnega valovanja.

Ob predpostavki, da se amplitudi vhodne svetlobe $A_1$ in $A_2$ le malo spreminjata, lahko z reševanjem gornje valovne enačbe izračunamo, kakšna bo amplituda svetlobe s frekvenco, ki je enaka vsoti vhodnih. Dobimo, da je moč te novonastale svetlobe $P_3$ sorazmerna:

$P_3\propto |A_3{|}^2\propto L^2{\chi }^2|A_1{|}^2|A_2{|}^2\frac{{\sin }^2(\mathrm{\Delta }kL/2)}{(\mathrm{\Delta }k{)}^2}$

kjer je $L$ dolžina poti svetlobe skozi kristal, $\chi$ efektivna susceptibilnost, določena s tenzorjem susceptibilnosti kot

$\chi =\sum _{ijk}{\chi }_{ijk}{𝐞}_{3i}{𝐞}_{1j}{𝐞}_{2k}$

(vektorji $e_a$ so enotski vektorji v smeri razširjanja svetlobe s frekvenco ${\omega }_a$) in

$\mathrm{\Delta }k=k_1+k_2-k_3$.

Intenziteta podvojene svetlobe bo največja, ko bo $\chi$ največji in $\mathrm{\Delta }k=0$. Ta dva pogoja nam določata izbrane smeri, v katerih sta izpoljnjena.

Ko opazujemo podvojevanje frekvence, ki je le poseben primer tega, velja ${\omega }_1={\omega }_2$.

Ujemanje faz

Slika:UjemanjeFreq.png

Graf rednih in izrednih lomnih količnikov za redno in izredno vhodno in frekvenčno podvojeno svetlobo z označenim kotom $\vartheta$, ki ustreza ujemanju faz 1. vrste. V tem primeru sta vhodni svetlobi (označeno z w1,w2) izredno polarizirani, izhodna podvojena svetloba (označeno z w3) pa je redno polarizirana

Slika:UjemanjeFreq2.png

Graf rednih in izrednih lomnih količnikov za redno in izredno vhodno in frekvenčno podvojeno svetlobo z označenim kotom $\vartheta$, ki ustreza ujemanju faz 2. vrste. V tem primeru sta vhodni svetlobi redno (označeno z w1) in izredno (označeno z w2) polarizirani, izhodna podvojena svetloba pa je redno polarizirana (označeno z w3)

Iz izraza za moč izhodne frekvenčno podvojene svetlobe vidimo, da bo intenziteta nastale svetlobe največja v primerih, ko velja $\mathrm{\Delta }k=0$. Ta pojav imenujemo ujemanje faz. Določa nam, v katerih smereh glede na kristal moramo svetiti, da bomo dobili največ podvojene svetlobe. Za optično enoosne kristale ločimo dva tipa ujemanja faz:

• pogoj ujemanja faz 1. vrste: $n_{{\omega }_3}=n_{{\omega }_1}=n_{{\omega }_2}$
• pogoj ujemanja faz 2. vrste: $n_{{\omega }_3}=(n_{{\omega }_1}+n_{{\omega }_2})/2$

kjer $n$ označuje lomni količnik snovi za dano frekvenco in izbrano polarizacijo, ${\omega }_{1,2}$ ustrezata vhodni svetlobi, ${\omega }_3$ pa podvojeni.

Primer rešitev za ujemanje faz 1. vrste prikazuje zgornja slika na desni. Dosežena je z izenačenjem lomnega količnika izredno polarizirane vhodne svetlobe ter redno polazirirane izhodne svetlobe. Rešitev dobimo v točki, kjer se elipsa (ki ustreza funkcijski obliki lomnega količnika v odvisnosti od vpadnega kota za izredno polarizirano vhodno svetlobo) in krog (ki ustreza funkcijski obliki lomnega količnika v odvisnosti od vpadnega kota za redno polarizirano podvojeno svetlobo) sekata. Funkcijsko obliko za izredni lomni količnik opisuje enačba elipse

$\frac{1}{n^2(\vartheta )}=\frac{{\sin }^2\vartheta }{n_e^2}+\frac{{\cos }^2\vartheta }{n_o^2}$

kjer sta $n_e,n_o$ velikosti polosi elipse. Za redno polarizirano svetlobo pa je lomni količnih enak $n_0$. Iz enakosti, ki so v pogoju 1.vrste, torej dobimo kot $\vartheta$, pod katerim moramo svetiti glede na optično os kristala, da dobimo ujemanje faz.

Rešitev za ujemanje faz 2. vrste prikazuje spodnja slika na desni. Ta je dosežena z izenačenjem povprečja lomnih količnikov redno in izredno polarizirane vhodne svetlobe z redno polazirirano izhodno svetlobo. Že iz slike vidimo, da je ujemanje faz 2. vrste stabilnejše, saj je tudi pri majhnih odstopanjih od optimalnega kota $\vartheta$ pogoj za ujemanje faz še vedno precej dobro izpolnjen.

Da dobimo res največjo možno intenziteto moramo izpolniti še pogoj za maksimalno efektivno susceptibilnost $\chi$.

Uporaba

Podvajanje frekvenc se uporablja:

• v visokoločljivostni optični mikroskopiji, predvsem v biologiji in medicini. Ker podvajanje frekvenc nastopi samo v necetrosimetričnih snoveh, tudi s svetenjem na npr. tkivo, pride do podvajanja frekvnec samo na nekaterih strukturah. Primer take strukture je kolagen. Z uporabo pulznih laserjev in primernih filtrov lahko vzbujevalno svetlobo ločimo od podvojene. To nam omogoča mikroskopijo z resolucijo, boljšo od navadne konfokalne mikroskopije.
• za produkcijo zelene svetlobe iz podvojene infrardeče svetlobe. V industriji se ta mehanizem uporablja za izdelavo 'zelenih' laserskih kazalcev. V primeru, da niso opremljeni z ustreznimi infrardečimi filtri, so lahko potencialno nevarni. Možno je namreč puščanje infrardeče svetlobe, ki ni v vidnem spektru in zato v očesu ne vzbudi signala za mežikanje.
• za pridobivanje monokromatske svetlobe iz nemonokromatske v smereh, v katerih je izpoljeno ujemanje faz. Z vrtenjem kristala v tem primeru lahko dobimo celo izvor spremenljive frekvence.

Viri

• Saleh, B.E.A. & Teich, M.C. (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, str. 80-107. ISBN 0-471-83965-5
• Franken, P. & Hill, A. & Peters, C. & Weinreich, G. (1961). "Generation of Optical Harmonics". Physical Review Letters 7: 118.
• Han, M & Giese, G & Bille, J (2005). "Second harmonic generation imaging of collagen fibrils in cornea and sclera". Optics express 13 (15): 5791–7. PMID 19498583.
• Brown, Donald J. & Morishige, Naoyuki & Neekhra, Aneesh & Minckler, Don S. & Jester, James V. (2007). "Application of second harmonic imaging microscopy to assess structural changes in optic nerve head structure ex vivo" Journal of Biomedical Optics 12: 024029

Zunanje povezave

• Parameswaran, K. R., Kurz, J. R., Roussev, M. M. & Fejer, "Observation of 99% pump depletion in single-pass second-harmonic generation in a periodically poled lithium niobate waveguide", Optics Letters, 27, p. 43-45 (January 2002).
• Predloga:Navedi splet
• Opozorilo glede nevarnih 'zelenih' laserskih pointerjev Predloga:Webarchive