Cauchyjeva matrika

Cauchyjeva matríka [košíjeva ~] je matrika z razsežnostjo $m \times n$ , ki ima elemente v obliki:

c_{i j} = \frac{1}{x_{i} - y_{j}}; x_{i} - y_{j} \neq 0, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n,

kjer je:

Cauchyjeva matrika je posebni primer Hilbertove matrike, kjer je:

x_{i} - y_{j} = i + j - 1 .

Vsaka podmatrika Cauchyjeve matrike je tudi Cauchyjeva matrika.

Imenuje se po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857).

Determinanta

Determinanta Cauchyjeve matrike se določi po naslednjem obrazcu:

\det 𝐀 = \frac{\prod_{i = 2}^{n} \prod_{j = 1}^{i - 1} (x_{i} - x_{j}) (y_{j} - y_{i})}{\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{n} (x_{i} - y_{j})} .

Determinanta je vedno neničelna, kar pomeni, da je Cauchyjeva matrika obrnljiva. Elementi obrnjene matrike $A^{- 1} = B = b_{i j}$ so enaki:

b_{i j} = (x_{j} - y_{i}) A_{j} (y_{i}) B_{i} (x_{j}),

kjer je:

kar je enako

A_{i} (x) = \frac{A (x)}{A^{'} (x_{i}) (x - x_{i})} in B_{i} (x) = \frac{B (x)}{B^{'} (y_{i}) (x - y_{i})},

in kjer je:

A (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i}) in B (x) = \prod_{i = 1}^{n} (x - y_{i}) .

.

Vsaka matrika $C$ je Cauchyjevi podobna, če imajo njeni elementi obliko:

c_{i j} = \frac{r_{i} s_{j}}{x_{i} - y_{j}} .