Norma matrike

Norma matrike je v matematiki razširitev pojma norme vektorja na matrike.

Definicija

Označimo s $K$ obseg realnih ali kompleksnih števil. S $K^{m\times n}$ pa označimo vektorski prostor matrik z razsežnostjo $m\times n$ v $K$.

Norma matrike $A$, ki jo označimo z $||A||$ je vektorska norma na $K^{m\times n}$ z lastnostmi:

• $\Vert A\Vert >0$ če je$A\ne 0$ in $\Vert A\Vert =0$, če in samo, če je $A=0,$
• $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert$ za vse $\alpha$ v $K$ in vse matrike $A$ v $K^{m\times n}$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ za vse matrike $A$ in $B$ v $K^{m\times n}$
• $||AB||\le ||A||\cdot ||B||$.

P norma matrik

Tudi matrikam lahko določimo p normo, ki odgovarja vektorski p-normi. Ta je določena kot

${\Vert A\Vert }_p=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{{\Vert Ax\Vert }_p}{{\Vert x\Vert }_p}.$.

Če pa je $p=1$ ali lahko normi izračunamo po obrazcu

${\Vert A\Vert }_1=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$. To pa je največja absolutna vrednost vsote stolpcev matrike.

Kadar pa je $p=\mathrm{\infty }$, dobimo normo s pomočjo

${\Vert A\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$. To pa je največja absolutna vrednost vrstic matrike.

Primer: Imamo matriko

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 7\\ 2& 6& 4\\ 0& 2& 8\end{array}\right],$.

Za normo $||A|{|}_1$ dobimo $||A|{|}_1=max(5,13,19)=19$. Norma $||A|{|}_{\mathrm{\infty }}=max(15,12,10)=15$.

Kadar pa je $p=2$ (Evklidska norma) in je matrika kvadratna ($n=m$), se norma imenuje spektralna norma.

Spektralna norma matrike $A$ je največja singularna vrednost ali kvadratni koren največje lastne vrednosti pozitivno definitne matrike $A^{*}A$

${\Vert A\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\text{max}}(A^{{}^{*}}A)}={\sigma }_{\text{max}}(A)$

kjer je

• $A^{*}$ konjugirano transponirana matrika matrike $A$
• $\lambda$ lastna vrednost matrike

Frobeniusova norma

Norna matrike $A$ iz ${ℂ}^{m,n}$ za $p=2$ se imenuje Frobeniusova norma

$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{{}^{*}}A)}=\sqrt{\sum _{i=1}^{\min \{m,n\}}{\sigma }_i^2}$

kjer je

• $A^{*}$ konjugirano transponirana matrika matrike $A$
• ${\sigma }_i$ singularna vrednost matrike $A$
• $\mathrm{tr}$ sled matrike $A$.

Norma se imenuje po nemškem matematiku Ferdinandu Georgu Frobeniusu (1849 – 1917). Včasih jo imenujejo tudi Hilbert-Schmidtova norma.

Zunanje povezave

• Matrične norme(poglavje 3)Predloga:Ikona sl
• Frobeniusova norma Predloga:Ikona en
• Frobeniusova norma Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Norma matrike Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en