Dualni kvaternion

Dualni kvaternion je v teoriji kolobarjev sestavni del nekomutativnega in neasociativnega kolobarja. Dualni kvaternioni so zgrajeni na podoben način kot običajni kvaternioni. Od njih se razlikujejo samo v tem, da jih namesto realnih števil kot koeficienti sestavljajo dualna števila.

Dualni kvaternion lahko prikažemo v obliki

$q=q_0+ϵq_{ϵ}$

kjer je

• $q_0$ običajni kvaternion
• $ϵ$ dualna enota za katero velja ${ϵ}^2=0$ (nilpotentnost).

Operacije z dualnimi kvaternioni

Seštevanje

Seštevanje dualnih kvaternionov je enostavno seštevanje njegovih koeficientov.

Množenje

Dualne kvaternione množimo tako, da množimo njegove komponente.

Imamo dva dualna kvaterniona:

$Q_1=r_1+\epsilon d_1$

in

$Q_2=r_2+\epsilon d_2$.

Njun zmnožek je enak: $Q_1*Q_2=r_1*r_2+\epsilon (r_1*d_2+d_1*r_2)$.

Pri tem pa ne nastopa $d_1*d_2$, ker je ${ϵ}^2=0$.

To nam da naslednjo tabelo za množenje:

$Q_1*Q_2$	$Q_2.1$	$Q_2.i$	$Q_2.j$	$Q_2.k$	$Q_2.\epsilon$	$Q_2.\epsilon i$	$Q_2.\epsilon j$	$Q_2.\epsilon k$
$Q_1.1$	1	i	j	k	$\epsilon$	$\epsilon i$	$\epsilon j$	$\epsilon k$
$Q_1.i$	i	-1	k	-j	$\epsilon i$	$-\epsilon$	$\epsilon k$	$-\epsilon j$
$Q_1.j$	j	-k	-1	i	$\epsilon j$	$-\epsilon k$	$-\epsilon$	$\epsilon i$
$Q_1.k$	k	j	-i	-1	$\epsilon k$	$\epsilon j$	$-\epsilon i$	$-\epsilon$
$Q_1.\epsilon$	$\epsilon$	$\epsilon i$	$\epsilon j$	$\epsilon k$	0	0	0	0
$Q_1.\epsilon i$	$\epsilon i$	$-\epsilon$	$\epsilon k$	$-\epsilon j$	0	0	0	0
$Q_1.\epsilon j$	$\epsilon j$	$-\epsilon k$	$-\epsilon$	$\epsilon i$	0	0	0	0
$Q_1.\epsilon k$	$\epsilon k$	$\epsilon j$	$-\epsilon i$	$-\epsilon$	0	0	0	0

.

Konjugirani dualni kvaternioni

Dualni kvaternioni imajo tri konjugirane oblike:

$q^{†}=r^{*}+\epsilon d^{*}$

$q_{\epsilon }=r-\epsilon d$

$q_{\epsilon }^{†}=r^{*}-\epsilon d^{*}$

kjer je

• $q$ dualni kvaternion
• $r$ realni del kvaterniona
• $d$ dualni del

Obratna vrednost dualnega kvaterniona

Podobno kot pri običajnem kvaternionu, se obratna vrednost izračuna po obrazcu: ${\hat{Q}}^{-1}=\frac{{\hat{Q}}^{†}}{{\hat{Q}}^2}$.

kjer je

• z $\hat{Q}$ označen dualni kvaternion.

Norma dualnega kvaterniona

$\Vert \hat{Q}\Vert =\sqrt{\hat{Q}{\hat{Q}}^{†}}=\sqrt{{\hat{Q}}^{†}\hat{Q}}$

Zunanje povezave

• Dualni kvaternioni na Euclidian Space Predloga:Ikona en
• William Kingdom Clifford Predloga:Ikona en
• Funkcije dualnih kvaternionov Predloga:Ikona en