Dualno število

Dualno število je razširitev realnih števil z dodajanjem novega elementa ${\epsilon }^2=0$ ($\epsilon$ je nilpotenten). Dualna števila prištevamo med hiperkompleksna števila.

Množica dualnih števil tvori dvorazsežno komutativno unitarno asociativno algebro nad realnimi števili.

Dualna števila imajo obliko $z=a+b\epsilon$, kjer sta a in b realni števili.

Dualna števila je uvedel William Kingdon Clifford leta 1873.Predloga:Sktxt

Z uporabo matrik lahko dualna števila izrazimo kot

$\epsilon =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{in}a+b\epsilon =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$.

Vsota in zmnožek dualnih števil se izračuna z uporabo pravil običajnega seštevanja in množenja matrik.

Značilnosti

Podobno kot v vseh hiperkompleksnih algebrah tudi pri dualnih številih velja levi in desni zakon distribucije. Podobno kot kompleksna števila so tudi komutativna in asociativna. Zanje velja

$1\cdot \epsilon =\epsilon \cdot 1=\epsilon$

$1\cdot (1\cdot \epsilon )=1\cdot \epsilon =(1\cdot 1)\cdot \epsilon =\epsilon$

$1\cdot (\epsilon \cdot \epsilon )=1\cdot 0=0=\epsilon \cdot \epsilon =(1\cdot \epsilon )\cdot \epsilon$.

Deljenje dualnih števil

Dualna števila delimo enako kot delimo kompleksna števila. To pomeni, da imenovalec in števec pomnožimo s konjugirano vrednostjo in s tem odstranimo nerealni del.

Primer deljenja dualnega števila:

Imamo število

$\frac{a+b\epsilon }{c+d\epsilon }$

Pomnožimo števec in imenovalec s konjugirano vrednostjo imenovalca

$=\frac{(a+b\epsilon )(c-d\epsilon )}{(c+d\epsilon )(c-d\epsilon )}=\frac{ac-ad\epsilon +cb\epsilon -bd{\epsilon }^2}{(c^2+cd\epsilon -cd\epsilon -d^2{\epsilon }^2)}=\frac{ac-ad\epsilon +cb\epsilon -0}{c^2-0}$

$=\frac{ac+\epsilon (cb-ad)}{c^2}$

$=\frac{a}{c}+\frac{(cb-ad)}{c^2}\epsilon$.

Rezultat je definiran, kadar je c različen od nič.

Viri

• Predloga:Navedi knjigo

Zunanje povezave

• Dualno število na MathWorld Predloga:Ikona en
• Dualno število na nLab Predloga:Ikona en