Kolobar

Kolobar

Ploščina kolobarja

Kolobár (tudi króžni kolobár) je geometrijski lik, ki ga omejujeta različno veliki istosrediščni krožnici.

Odprti kolobar je topološko istoroden odprtemu valju $S^1\times (0,1)$ in prebodeni ravnini.

Ploščina

Ploščina kolobarja, ki ga omejujeta krožnici s polmeroma R in r, je enaka razliki njunih ploščin:

$p=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2).$

Ploščina kolobarja izhaja tudi iz dolžine najdaljše daljice, ki lahko v celoti leži znotraj kolobarja (2d na sliki). To se dokaže s Pitagorovim izrekom - najdaljša daljica, ki lahko v celoti leži znotraj kolobarja, je tangenta na manjšo krožnico in v dotikališču tvori pravokotni trikotnik z njenim polmerom. d in r sta kateti pravokotnega trikotnika s hipotenuzo R, ploščina kolobarja pa je enaka ploščini krožnice s tem polmerom d:

$p=\pi (R^2-r^2)=\pi d^2.$

Enak rezultat je z infinitezimalnim računom, če se razdeli kolobar na neskončno število kolobarjev z infinitezimalno majhno širino $\mathrm{d}\rho$ in površino $2\pi \rho \mathrm{d}\rho$ ( = obseg × širina), in se integrira od $\rho =r$ do $\rho =R$:

$p=\underset{r}{\overset{R}{\int }}2\pi \rho \mathrm{d}\rho =\pi (R^2-r^2).$

Ploščina izseka kolobarja pod kotom Predloga:Math, s Predloga:Math podanim v radianih, je enaka:

$p=\frac{\theta }{2}(R^2-r^2).$

Glej tudi

• izrek o kolobarju
• torus
• Hadamardov izrek o treh krožnicah

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld