Hiperbolično število

Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

$x+yj$

kjer je

• $x$ realno število
• $y$ realno število
• $j$ število podobno imaginarni enoti, razen, da zanj velja

$j^2=1$ tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti

Seštevanje je definirano kot

$(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)$

Množenje pa je definirano z

$(x+jy)(u+jv)=(xu+yv)+j(xv+yu)$

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil $z=x+jy$ konjugirano število določeno kot

$z=x^{*}-jy$.

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

$(z+w{)}^{*}=z^{*}+w^{*}$

$(zw{)}^{*}=z^{*}{w}^{*}$

$(z^{*}{)}^{*}=z$

Velja pa tudi

$(zw{)}^{*}=|z||w|$.

Geometrija

Množica točk $z$ za katere velja $z:\Vert z\Vert =a^2$ je hiperbola za vse $a$ iz $ℝ$, ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki $(a,0)$ in $(-a,0)$. Kadar je $a=1$ dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

$\{z:\Vert z\Vert =-a^2\}$

Matrična predstavitev

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število $z=x+j.y=1.x+j.y$ lahko prikažemo kot matriko

$z\mapsto \left[\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right].$,

ker je

$1\mapsto \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

in

$j\mapsto \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

$\exp (j\theta )=\cosh (\theta )+j\sinh (\theta ).$.

Absolutna vrednost

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila $z=x+jy$ je enaka

$|z|=z.z^{*}=z^{*}.z=x^2-y^2$.

Zgodovina

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

Sopomenke

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

• (realna) tesarina
• (algebrajski) motor
• hiperbolično kompleksno število
• birealno število
• hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
• dualno število
• nenormalno kompleksno število
• perpleksno število
• Lorentzovo število
• razcepljeno kompleksno število
• prostorsko-časovno število
• dvokompleksno število

Zunanje povezave

• Hiperbolična števila Predloga:Ikona en
• Uvod v algebrske motorje Predloga:Ikona en