Bernoullijeva porazdelitev

Bernoullijeva porazdelitev je diskretna verjetnostna porazdelitev. Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju (1654–1705).

Definicija

Slučajna spremenljivka, ki jo obravnavamo po Bernoulijevi porazdelitvi, lahko zavzame samo dve vrednosti: Vrednost 1 z verjetnostjo $p$ (uspešni izid) in vrednost 0 (neuspešni izid) z verjetnostjo $q=p-1$, kar lahko zapišemo kot:

$\mathrm{Pr}(X=1)=$ $1-\mathrm{Pr}(X=0)=$ $1-q=p.$

pri tem je $X$ slučajna spremenljivka in $\text{Pr}$ je verjetnost.

Funkcija verjetnosti se lahko zapiše kot  $f(k;p)=\{\begin{array}{cc}p& \text{ko je }k=1,\\ 1-p& \text{ko je }k=0,\\ 0& \text{v ostalih primerih}\end{array}$.
To lahko zapišemo tudi kot:

$f(k;p)=p^k(1-p{)}^{1-k}.$

Značilnosti

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka:

$E\left(X\right)=p.$

Varianca

Varianca v Bernoullijevi porazdelitvi je enaka:

${\sigma }^2=pq=p(1-p).$

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak:

$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}.$

Mediana

Mediane ne moremo določiti.

Sploščenost

Sploščenost je enaka:

$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}.$

Prehod na Poissonovo porazdelitev

Kadar gre število poskusov preko vseh mej: $n\to \mathrm{\infty }$ ter s tem $p_n\to 0$ in velja: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}n{p}_n=\lambda >0$, dobimo Poissonovo porazdelitev s parametrom $\lambda$.

Povezava z binomsko porazdelitvijo

Bernoullijeva porazdelitev je posebni primer binomske porazdelitve za $n=1$.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev
• Bernoullijev poskus