Binomska vrsta

Predloga:Infinitezimalni račun Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije $(1 + x)^{m}$ .

Če se razvije polinom:

f (x) = (1 + x)^{m}

okrog točke 0:

(a = 0), m \in ℝ

f^{'} (x) = m (1 + x)^{m - 1} f^{'} (0) = 0

f^{''} (x) = m (m - 1) (1 + x)^{m - 2} f^{''} (0) = 1

f^{(k)} (x) = m (m - 1) \dots (m - k + 1) (1 + x)^{m - k} .

Opomba: če je $m \in ℕ$ , ima vrsta končno členov - od $(m + 1)$ dalje so vsi enaki 0.

Če $m \notin ℕ$ , $m \neq 0$ , ima vrsta neskončno členov, se dobi:

f (x) = (1 + x)^{m} = 1 + \frac{m}{1!} x + \frac{m (m - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{m (m - 1) \dots (m - k + 1)}{k!} x^{k} .

(\binom{m}{k}) = \frac{m (m - 1) \dots (m - k + 1)}{k!}; m \in ℝ k \in ℕ \cup 0

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! k!}; m \in ℝ k \in ℕ \cup 0

in tako je binomska vrsta:

(1 + x)^{m} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{m}{k}) x^{k} .

Konvergenca vrste

Binomska vrsta konvergira na območju s konvergenčnim polmerom:

M = \lim_{z \to \infty} f (z) = | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = \frac{(\binom{m}{n})}{(\binom{m + 1}{n + 1})} = \lim_{n \to \infty} | \frac{n + 1}{m - n} | = 1 .

Konvergira za $| x | < 1$ .