Cauchyjev produkt

Cauchyjev prodúkt [košíjev ~] dveh zaporedij $(a_n{)}_{n\ge 0}$, $(b_n{)}_{n\ge 0}$ je v matematiki nezvezna konvolucija zaporedij s katero nastane novo zaporedje $(c_n{)}_{n\ge 0}$, katerega splošna oblika je dana kot:

$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}.$

Je zaporedje, katerega povezana formalna potenčna vrsta ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n$ je produkt dveh vrst, ki sta podobno povezani z $(a_n{)}_{n\ge 0}$ in $(b_n{)}_{n\ge 0}$. Zaporedje se imenuje po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju.

Vrste

Še posebej pomemben primer je obravnava zaporedij $a_n,b_n$, ki so členi dveh strogo formalnih (ne nujno konvergentnih vrst):

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

po navadi realnih ali kompleksnih. Potem je Cauchyjev produkt definiran z nezvezno konvolucijo kot sledi:

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m\right)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_j,\mathrm{k}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{j}\mathrm{e}{c}_j=\sum _{k=0}^j{a}_k{b}_{j-k},(n=0,1,2,\dots ).$

»Formalno« pomeni, da se vrste obravnavajo brez vsakršnega vprašanja o konvergenci. Ni nujno, da so vrste konvergentne.

Z analogijo s končnimi vsotami se pričakuje, da bo v primerih v katerih dve vrsti dejansko konvergirata vsota neskončne vrste:

$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_j$

enaka neskončemu produktu:

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m\right),$

prav tako, če bi vsaka od pomnoženih vrst imela končno mnogo členov. To v splošnem ne velja – za posebne primere glej spodaj Mertensov in Cesàrov izrek.

Končno seštevanje

Za produkt dveh končnih vrst $a_k$ in $b_k$ s $0<k<n$ velja enačba:

$\left(\sum _{k=0}^n{a}_k\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^n{b}_k\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}(a_k\sum _{i=n+1}^{2n-k}{b}_i+b_k\sum _{i=n+1}^{2n-k}{a}_i).$

Konvergenca in Mertensov izrek

Ne zamenjajte s člankom Mertensovi izreki, ki obravnavajo porazdelitev praštevil.

Naj sta $(a_n{)}_{n\ge 0}$ in $(b_n{)}_{n\ge 0}$ realni ali kompleksni zaporedji. Franz Mertens je dokazal, da, če vrsta ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira k $A$, vrsta ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ pa k $B$, in vsaj ena od njiju absolutno konvergira, potem njun Cauchyjev produkt konvergira k $AB$.

Ni zadostno, če obe vrsti konvergirata; če sta obe zaporedji pogojno konvergentni, Cauchyjev produkt nujno ne konvergira k produktu obeh vrst, kakor kaže naslednji zgled:

Zgled

Naj sta dve alternirajoči vrsti dani kot:

$a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}},$

in sta le pogojno konvergentni (divegenca vrst z absolutnima vrednostima sledi iz direktega primerjalnega kriterija in divergence harmonične vrste). Členi njunega Cauchyjevega produkta so dani z:

$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k+1}}\cdot \frac{(-1{)}^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}},(n\in \mathbb{Z},n\ge 0).$

Ker za vsak $k\in \{0,1,\dots ,n\}$ veljata neenakosti $k+1\le n+1$ in $n-k+1\le n+1$, za kvadratni koren v števcu sledi $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le n+1$, in zato, ker je $n+1$ seštevancev, velja:

$|c_n|\ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{n+1}\ge 1,(n\in \mathbb{Z},n\ge 0).$

Zaradi tega $c_n$ ne konvergira k nič ko gre $n\to \mathrm{\infty }$, in zaradi tega vrsta $(c_n{)}_{n\ge 0}$ po kriteriju po členih divergira.

Dokaz Mertensovega izreka

Naj vrsta ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergira absolutno. Njene delne vsote so:

$A_n=\sum _{i=0}^n{a}_i,B_n=\sum _{i=0}^n{b}_i\text{in}{C}_n=\sum _{i=0}^n{c}_i,$

kjer je:

$c_i=\sum _{k=0}^i{a}_k{b}_{i-k}.$

Potem velja:

$C_n=\sum _{i=0}^n{a}_{n-i}{B}_i.$

S preureditvijo potem izhaja:

$C_n=\sum _{i=0}^n{a}_{n-i}(B_i-B)+A_{n}B.$

Naj je $\epsilon >0$. Ker je $\sum _{k\in \mathbb{N}}|a_k|<\mathrm{\infty }$ po absolutni konvergenci in, ker $B_n$ konvergira k $B$, ko gre $n\to \mathrm{\infty }$, obstaja takšno celo število $N$, da za vsa cela števila $n\ge N$ velja:

$|B_n-B|\le \frac{\epsilon /3}{\sum _{k\in \mathbb{N}}|a_k|+1}$

(to je edino mesto kjer se uporabi asolutna konvergenca). Ker vrsta $(a_n{)}_{n\ge 0}$ konvergira, mora po kriteriju po členih konvergirati posamezni člen $a_n$ k 0. Zato obstaja takšno celo število $M$, da za vsa cela števila $n\ge M$ velja:

$|a_n|\le \frac{\epsilon }{3N(\underset{i\in \{0,\dots ,N-1\}}{\sup }|B_i-B|+1)}.$

Ker tudi $A_n$ konvergira k $A$, ko gre $n\to \mathrm{\infty }$, obstaja takšno celo število $L$, da za vsa cela števila $n\ge L$ velja:

$|A_n-A|\le \frac{\epsilon /3}{|B|+1}.$

Potem se za vsa cela števila $n\ge \max \{L,M+N\}$ z izrazom za $C_n$ razdeli vsoto na dva dela, se uporabi trikotniška neenakost za absolutno vrednost in končno z zadnjimi tremi ocenami izhaja:

$\begin{array}{cc}|C_n-AB|& =|\sum _{i=0}^n{a}_{n-i}(B_i-B)+(A_n-A)B|\\ & \le \sum _{i=0}^{N-1}\underset{\le \epsilon /(3N)}{\underbrace{|a_{\underset{\ge M}{\underbrace{n-i}}}||B_i-B|}}+\underset{\le \epsilon /3}{\underbrace{\sum _{i=N}^n|a_{n-i}||B_i-B|}}+\underset{\le \epsilon /3}{\underbrace{|A_n-A||B|}}\le \epsilon .\end{array}$

Po definiciji konvergence vrste je $C_n\to AB$, kot je zahtevano.

Zgledi

Končne vrste

Naj je $a_i=0$ za vse $i>n$ in $b_i=0$ za vse $i>m$. Tukaj se Cauchyjev produkt vrst $\sum a_n$ in $\sum b_n$ enostavno preveri, da je $(a_0+\cdots +a_n)(b_0+\cdots +b_m)$. Tako je za končne vrste, ki so končne vsote, Caushyjev produkt neposredno množenje dveh vrst.

Neskončne vrste

• Naj je za poljubna $x,y\in ℝ$ dana vrsta $a_n=x^n/n!$ in vrsta $b_n=y^n/n!$. Potem je:

$c_n=\sum _{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!}=\frac{1}{n!}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i{y}^{n-i}=\frac{(x+y{)}^n}{n!}$

po definiciji in binomskem izreku. Ker je formalno $\exp (x)=\sum a_n$ in $\exp (y)=\sum b_n$, tako velja $\exp (x+y)=\sum c_n$. Ker je limita Cauchyjevega produkta dveh absolutno konvergentnih vrst enak produktu limit vrst, tako velja formula: $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$ za vse $x,y\in ℝ$.

• V drugem zgledu naj je $a_n=b_n=1$ za vse $n\in \mathbb{N}$. Potem je $c_n=n+1$ za vse $n\in \mathbb{N}$, tako da Cauchyjev produkt $\sum c_n=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ne konvergira.

Cesàrov izrek

V primerih, ko sta dve zaporedji konvergentni, ne pa tudi absolutno konvergentni, za Cauchjev produkt še vedno obstaja Cesàrova vsota. Posebej:

Če sta $(a_n{)}_{n\ge 0}$, $(b_n{)}_{n\ge 0}$ realni zaporedji z $\sum a_n\to A$ in $\sum b_n\to B$, potem velja:

$\frac{1}{N}\left(\sum _{n=1}^N\sum _{i=1}^n\sum _{k=0}^i{a}_k{b}_{i-k}\right)\to AB.$

To se lahko posploši na primer, ko dve zaporedji nista konvergentni, in zanju obstaja samo Cesàrova vsota:

Izrek

Za $r>-1$ in $s>-1$ naj za zaporedje $(a_n{)}_{n\ge 0}$ obstaja vsota $(C,r)$ z vsoto $A$ in za $(b_n{)}_{n\ge 0}$ ostaja vsota $(C,s)$ z vsoto $B$. Potem za Cauchyjev produkt obstaja vsota $(C,r+s+1)$ z vsoto $AB$.

Posplošitve

Vse kar sledi velja za zaporedja v $ℂ$ (za kompleksna števila). Cauchyjev produkt se lahko definira za vrste v ${ℝ}^n$ prostorih (evklidskih prostorih), kjer je množenje notranji produkt. V takšnem primeru, da če dve vrsti konvergirata absolutno, njun Cauchyjev produkt konvergira absoltno k notranjemu produktu limit.

Produkti končno mnogo neskončnih vrst

Naj je $n\in \mathbb{N}$ takšen, da je $n\ge 2$ (dejansko naslednje velja tudi za $n=1$, vendar izjava v tem primeru postane trivialna), in naj je $\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{1,k_1},\dots ,\sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n,k_n}$ neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen $n$-ti konvergirajo absolutno, $n$-ti pa konvergira. Potem vrsta:

$\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}{a}_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_1-k_2}$

konvergira in velja:

$\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}{a}_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_1-k_2}=\prod _{j=1}^n\left(\sum _{k_j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j,k_j}\right).$

Ta izjava se lahko dokaže z indukcijo prek $n$: primer za $n=2$ je enak trditvi o Cauchyjevem produktu. To je osnova indukcije.

Korak indukcije poteka kot sledi: naj je trditev resnična za $n\in \mathbb{N}$, tako da je $n\ge 2$, in naj je $\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{1,k_1},\dots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1,k_{n+1}}$ neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen $n+1$-ti konvegirajo absolutno, $n+1$-ti pa konvergira. Najprej se izvede indukcijska domneva za vrsto $\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}|a_{1,k_1}|,\dots ,\sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_{n,k_n}|$. Izhaja, da vrsta:

$\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_{1}1-k_2}|$

konvergira, in zato po trikotniški neenakosti in vmesnem kriteriju vrsta:

$\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}|\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}{a}_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_1-k_2}|$

konvergira, ter tako vrsta:

$\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}{a}_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_1-k_2}$

konvergira absolutno. Tako po indukcijski domnevi, Mertensovem izreku in preimenovanju spremenljivk velja:

$\begin{array}{cc}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j,k_j}\right)& =\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{=:a_{k_{n+1}}}{\overbrace{a_{n+1,k_{n+1}}}}\right)\left(\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{=:b_{k_1}}{\overbrace{\sum _{k_2=0}^{k_1}\cdots \sum _{k_n=0}^{k_{n-1}}{a}_{1,k_n}{a}_{2,k_{n-1}-k_n}\cdots a_{n,k_1-k_2}}}\right)\\ & =\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_2=0}^{k_1}{a}_{n+1,k_1-k_2}\sum _{k_3=0}^{k_2}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_n}{a}_{1,k_{n+1}}{a}_{2,k_n-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_2-k_3}.\end{array}$

Zato formula velja tudi za $n+1$.

Povezava s konvolucijo funkcij

Lahko se definira tudi Cauchyjev produkt za dvomljivo neskončna zaporedja kot funkcije v $\mathbb{Z}$. V takšnem primeru Cauchyjev produkt ni vedno definiran: Cauchyjev produkt konstantnega zaporedja 1 s samim seboj $(\dots ,1,\dots )$ na primer ni definiran. To ne izhaja za posamezna neskončna zaporedja, saj so njihove vsote končne.

Lahko obstajajo pari – na primer produkta končnega zaporedja s poljubnim zaporedjem, in produkt ${\ell }^1\times {\ell }^{\mathrm{\infty }}$. To je povezano z dualnostjo prostorov L^p.

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat