Eulerjeva domneva

Eulerjeva domneva je v matematiki napačna domneva, povezana s Fermatovim velikim izrekom, ki jo je leta 1769 postavil Leonhard Euler. Nobena od diofantskih enačb oblike:

$x_1^3+x_2^3=y^3$

$x_1^4+x_2^4+x_3^4=y^4$

$x_1^5+x_2^5+x_3^5+x_4^5=y^5$

$\cdots$

$x_1^n+x_2^n+...+x_{n-1}^n=\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i^n=y^n$

nima nobene trivialne rešitve za celi $n\ge 3$. Za $n=2$ veljajo vsote kot so na primer pitagorejske trojice:

$x_1^2+x_2^2=y^2.$

Za $n=3$ velja na primer:

$3^3+4^3+5^3=6^3,$

$1^3+6^3+8^3=9^3.$

$6^3$ ali $9^3$ pa ne da zapisati kot vsoto dveh (3-1) tretjih potenc.

Trditev sta s pomočjo računalnika ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z $n=5$:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.$

Noam David Elkies je leta 1986 našel geometrijsko metodo za konstrukcijo neskončnega števila protiprimerov za primer $n=4$. Najmanjši protiprimer takšne homogene diofantske enačbe četrte stopnje za njegovo konstrukcijo je:

$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4.$

Roger Frye iz podjetja Thinking Machines Corporation je dve leti kasneje 1988 našel najmanjši možni protiprimer za $n=4$ z neposrednim računalniškim iskanjem s konstrukcijo Elkiesovega tipa:

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$

Računalnik je enačbo računal 100 ur.

Protiprimeri za $n\ge 6$ niso znani.

Leta 1966 so Lander, Parkin in John L. Selfridge podali domnevo, da za vsak $vk>3v$, če velja:

$\sum _{i=1}^n{x}_i^k=\sum _{j=1}^m{y}_j^k,$

kjer $x_i\ne y_j$, potem $m+n\ge k$.

Glej tudi

• Eulerjeva enačba četrte stopnje (Jacobi-Maddnova enačba)