Porazdelitev beta

Beta porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev za različne α in β
Zbirna funkcija verjetnosti beta porazdelitve za različne α in β
oznaka	$Beta(\alpha ,\beta )$
parametri	$\alpha >0$ oblika (realno število) $\beta >0$ oblika (realno število)
interval	$x\in (0;1)$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_x(\alpha ,\beta )$
pričakovana vrednost	$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$
mediana	$I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )$ nezaprta oblika
modus	$\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$ za $\alpha >1,\beta >1$
varianca	$\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$
simetrija	$\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha +\beta +1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha \beta }}$
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{r=0}^{k-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\right)\frac{t^k}{k!}$
karakteristična funkcija	${}_1{F}_1(\alpha ;\alpha +\beta ;it)$

Porazdelitev beta je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je definirana na intervalu (0,1). Porazdelitev ima dva parametra, ki določata njeno obliko (parameter oblike). Parametra označujemo z $\alpha$ in $\beta$.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev je

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$

$=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$

kjer je

• $B(x,y)$ funkcija beta
• $\mathrm{\Gamma }(x)$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\mathrm{B}}_x(\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta )$

kjer je

• $I_x(\alpha ,\beta )$ regulirana nepopolna funkcija beta
• $B_x(\alpha ,\beta )$ nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$.

Oblika funkcije gostote verjetnosti

• Kadar je $\alpha =1,\beta =1$, dobimo zvezno enakomerno porazdelitev
• Za $\alpha <1,\beta <1$ ima funkcija gostote verjetnosti obliko črke U (rdeča krivulja)
• Za $\alpha <1,\beta \ge 1$ or $\alpha =1,\beta >1$ je padajoča (modra krivulja, glej desno)
  • Za $\alpha =1,\beta >2$ je funkcija konveksna
  • Za $\alpha =1,\beta =2$ ima obliko premice
  • $\alpha =1,1<\beta <2$ je funkcija konkavna
• Za $\alpha =1,\beta <1$ ali $\alpha >1,\beta \le 1$ je funkcija naraščajoča (zelena krivulja)
  • $\alpha >2,\beta =1$ jefunkcija konveksna
  • $\alpha =2,\beta =1$ je premica
  • $1<\alpha <2,\beta =1$ je fumkcija konkavna
• Za $\alpha >1,\beta >1$ je unimodalna (vijolična in črna krivulja).

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če se slučajna spremenljivka X podreja beta porazdelitvi, potem je spremenljivka T = X/(1 – X) porazdeljena po posebni porazdelitvi, ki jo imenujemo beta porazdelitev druge vrste (včasih jo imenujemo tudi beta prime porazdelitev).
• Porazdelitev $Beta(1,1)$ je enaka enakomerni zvezni porazdelitvi.
• Če ima slučajna spremenljivka X porazdelitev $Beta(3/2,3/2)$ in je parameter R realno število, ki je R > 0, potem je slučajna spremenljivka Y = 2RX – R porazdeljena po Wignerjevi polkrožni porazdelitvi.
• Kadar imata dve slučajni spremenljivki X in Y porazdelitev gama $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\theta )$ in $\mathrm{\Gamma }(\beta ,\theta )$, potem ima X/(X + Y) porazdelitev $Beta(\alpha ,\beta )$
• Če sta X in Y dve neodvisni slučajni spremenljivki in je prva porazdeljena s porazdelitvijo $Beta(\alpha ,\beta )$ in druga z F porazdelitvijo (Snedekorjeva F porazdelitev) z $F(2\beta ,2\alpha )$, potem za verjetnost $P$ velja $P(X\le \alpha /(\alpha +x/beta))=P(Y>x)$ za vse $x>0$.
• Beta porazdelitev je posebni primer Dirichletove porazdelitve za samo dva parametra
• Kumaraswamyjeva porazdelitev spominja na beta porazdelitev.
• Kadar ima slučajna spremenljivka X zvezno enakomerno porazdelitev z $X\sim \mathrm{U}(0,1]$ potem za kvadrat slučajne spremenljivke velja $X^2\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1/2,1)$

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev