Gaussov problem o krogu

Gaussov problem o krogu v je v matematiki nerešeni problem določitve števila mrežnih točk znotraj kroga s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r. Prvi korak pri rešitvi je naredil Carl Friedrich Gauss in po njem se problem tudi imenuje.

Opredelitev problema

Naj je krog v ravnini (R²) s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r ≥ 0. Gaussov problem o krogu sprašuje koliko točk oblike (m,n) leži znotraj tega kroga, kjer sta m in n celi števili. Ker je enačba kroga dana v kartezičnih koordinatah z x² + y² = r², je vprašanje enakovredno vprašanju koliko takšnih parov celih števil m in n obstaja, da velja:

$m^2+n^2\le r^2.$

Če se za dani r označi rešitev z N(r), je prvih deset vrednosti za N(r) za celi r med 0 in 10 Predloga:OEIS:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.

Meje rešitve in domneva

Ploščina kroga s polmerom r je dana s πr². Ker kvadrat s ploščino 1 v R² vsebuje eno celo točko, bo pričakovana rešitev približno πr². Dejansko bo malo višja, ker krogi bolj učinkovito zapolnjujejo prostor kot kvadrati. Lahko se pričakuje vrednost:

$N(r)=\pi r^2+E(r),$

kjer E(r) določa napako. Iskanje pravilne zgornje meje za E(r) je tako vsebina problema.

Gauss je dokazal, da velja:

$\frac{|E(r)|}{r}\le 2\sqrt{2}\pi =8,885765\dots .$

Hardy in neodvisno od njega Landau sta našla spodnjo mejo in pokazala, da velja:

$E(r)\ne o(r^{1/2}(\log r{)}^{1/4}),$

kjer je o-zapis Landauov simbol. Domnevajo, da je pravilna spodnja meja enaka:

$E(r)=𝒪\left(r^{1/2+\epsilon }\right)$

za vsak $\epsilon >0$.

Če se piše:

$\frac{|E(r)|}{r^t}\le C,$

sta trenutni meji za t:

$\frac{1}{2}<t\le \frac{131}{208}=0,629807\dots ,$

kjer je spodnja meja Hardyjeva in Landauova iz leta 1915; zgornjo mejo pa je dokazal Huxley leta 2000.

Sylvain Cappell in Julius Shaneson sta leta 2007 v arXiv oddala članek, v katerem sta trdila, da sta dokazala mejo za O(r^1/2+ε).

Točni izrazi

Vrednost N(r) se lahko poda z več vrstami. S členi vsote funkcije celi del se jo lahko zapiše kot:

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{r^2}{4i+1}\rfloor -\lfloor \frac{r^2}{4i+3}\rfloor ).$

Preprostejšo vsoto se dobi, če se definira aritmetično funkcijo vsote kvadratov r₂(n), kot število načinov zapisa števila n z vsotama dveh kvadratov vključno z ničlami. Tako je:

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^2}{r}_2(n).$

Prve vrednosti za r, za katere je $N(r)/r^2>\pi$, so Predloga:OEIS:

1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 35, 51, 52, 85, 100, 230, ...

Posplošitve

Problem so posplošili tudi na stožnice, elipsoide in več razsežnosti. Dirichletov problem deliteljev je enakovredni problem za pravokotno hiperbolo.

Primitivni problem o krogu

Druga posplošitev je določitev števila tujih celoštevilskih rešitev m, n enačbe:

$m^2+n^2\le r^2.$

Ta problem je znan kot primitivni problem o krogu, saj vsebuje iskanje primitivnih rešitev izvirnega problema o krogu. Če se označi število takšnih rešitev z V(r), so njihove vrednosti za celoštevilski r od 0 do 6:

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72.

S pomočjo idej običajnega Gaussovega problema o krogu in dejstva, da je verjetnost, da sta dve celi števili tuji, enaka 6/π², se lahko pokaže, da velja:

$V(r)=\frac{6}{\pi }{r}^2+O(r^{1+\epsilon }).$

Kot pri običajnem problemu o krogu je problematičen del primitivnega problema o krogu zmanjšanje eksponenta za člen napake. Trenutno je najboljši znani eksponent enak 221/304 + ε, s privzetkom, da je Riemannova domneva pravilna. Na drugi strani niso dokazali nobenega drugega eksponenta manj od 1 brez omejitev.

Viri

• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Navedi knjigo
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Navedi knjigo
• Predloga:Navedi knjigo
• Predloga:Navedi knjigo
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Navedi revijo

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld