Gaussova ukrivljenost

Od leve proti desni: ploskev z negativno Gaussovo ukrivljenostjo, (hiperboloid), ploskev z ničelno Gaussovo ukrivljenostjo (valj) in ploskev s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo (sfera).

Gaussova ukrívljenost [gáusova ~] (oznaka $\mathrm{K}$) v določeni točki na ploskvi je v diferencialni geometriji produkt glavnih ukrivljenosti κ₁ in κ₂ v tej točki. Ta vrsta ukrivljenosti se imenuje tudi notranja ukrivljenost, ker je njena vrednost odvisna samo od načina merjenja razdalj na ploskvi, ne pa od tega kako je izometrično vložena v prostor. To je tudi vsebina Gaussovega izreka egregium (veličastni izrek).

Gaussovo ukrivljenost se določi z:

$\mathrm{K}={\kappa }_1{\kappa }_2,$

kjer sta:

• ${\kappa }_1$ in
• ${\kappa }_2$ – glavni ukrivljenosti.

Drugačna definicija

Gaussova ukrivljenost je dana tudi z:

$\mathrm{K}=\frac{⟨({\mathrm{\nabla }}_2{\mathrm{\nabla }}_1-{\mathrm{\nabla }}_1{\mathrm{\nabla }}_2){𝐞}_1,{𝐞}_2⟩}{\det g},$

kjer je:

• ${\mathrm{\nabla }}_i={\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_i}$ – kovariantni odvod
• $g$ – metrični tenzor

Totalna ukrivljenost

Vsota kotov v trikotniku na ploskvi z negativno ukrivljenostjo je manjša kot pri trikotniku v ravnini.

Površinski integral Gaussove ukrivljenosti preko določenega področja ploskve se imenuje totalna ukrivljenost. Totalna ukrivljenost geodetskega trikotnika je enaka odklonu vsote trikotnikovih kotov od $\pi$. Vsota kotov trikotnika na ploskvi s pozitivno ukrivljenostjo bo večja kot $\pi$, na ploskvi z negativno ukrivljenostjo pa bo manjša od $\pi$. Na ploskvah z ničelno ukrivljenostjo (Evklidska ravnina) pa je vsota kotov točno enaka $\pi$. V splošnem pa velja:

$\sum _{i=1}^3{\theta }_i=\pi +\underset{T}{\iint }K\mathrm{d}A.$

Še splošnejša oblika pa je Gauss-Bonnettov izrek.

Še nekaj definicij

• Gaussova ukrivljenost ploskve v R³ se lahko prikaže kot razmerje med determinantama druge in prve fundamentalne forme:

$K=\frac{\det II}{\det I}=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}.$

• Brioschijev obrazec da Gaussovo ukrivljenost kot izraz v prvi fundamentalni formi:

$K=(\det \left|\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}{E}_{vv}+F_{uv}-\frac{1}{2}{G}_{uu}& \frac{1}{2}{E}_u& F_u-\frac{1}{2}{E}_v\\ F_v-\frac{1}{2}{G}_u& E& F\\ \frac{1}{2}{G}_v& F& G\end{array}\right|-\det \left|\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}{E}_v& \frac{1}{2}{G}_u\\ \frac{1}{2}{E}_v& E& F\\ \frac{1}{2}{G}_u& F& G\end{array}\right|)/(EG-F^2{)}^2.$

• Za pravokotno parametrizacijo je Gaussova ukrivljenost:

$K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}(\frac{\partial }{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}}+\frac{\partial }{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}).$

• Za ploskev, ki se jo opiše kot graf funkcije $z=F(x,y)$, je Gaussova ukrivljenost:

$K=\frac{F_{xx}\cdot F_{yy}-{F_{xy}}^2}{(1+{F_x}^2+{F_y}^2{)}^2}.$

• Za ploskev $F(x,y,z)=0$ je Gaussova ukrivljenost enaka:

$K=\frac{[F_z(F_{xx}{F}_z-2F_x{F}_{xz})+F_x^2{F}_{zz}][F_z(F_{yy}{F}_z-2F_y{F}_{yz})+F_y^2{F}_{zz}]-[F_z(-F_x{F}_{yz}+F_{xy}{F}_z-F_{xz}{F}_y)+F_x{F}_y{F}_{zz}{]}^2}{F_z^2(F_x^2+F_y^2+F_z^2{)}^2}.$

• Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med obsegom geodetke in krožnice v ravnini:

$K=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}.$

• Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med površino geodetskega kroga in kroga v ravnini:

$K=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4}.$

• Gaussova ukrivljenost se lahko izrazi s Christoffelovimi simboli:

$K=-\frac{1}{E}(\frac{\partial }{\partial u}{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-\frac{\partial }{\partial v}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2).$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Gaussova ukrivljenost Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Gaussova ukrivljenost v Encyclopedia of Mathematics Predloga:Ikona en