Jedro (matrika)

Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka $\text{Ker}(A)$) je v linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0.

Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora

Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt) matrike A.

Definicija

Jedro matrike m × n matrike A je množica

$\text{N}(𝐀)=\text{Null}(𝐀)=\text{Ker}(𝐀)=\{\mathbf{\text{x}}\in {ℂ}^n:𝐀\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}\}\text{,}$

kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb:

$𝐀\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{0}}\iff \begin{array}{cccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =0& \\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =0& \\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & ⋮& \\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =0.& \end{array}$

Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.

Zgled

Obravnavajmo matriko

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right].$

Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (x, y, z) ∈ R³ za katere velja

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\text{.}$

To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb, ki vključujejo x, y in z:

$\begin{array}{ccccccccccccc}2x& & +& & 3y& & +& & 5z& & =& & 0,\\ -4x& & +& & 2y& & +& & 3z& & =& & 0.\\ \end{array}$

To lahko pišemo v matrični obliki:

$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 5& 0\\ -4& 2& 3& 0\end{array}\right].$

Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1/16& 0\\ 0& 1& 13/8& 0\end{array}\right].$

Ponovno pisanje nam da:

$\begin{array}{ccc}x=& & -\frac{1}{16}c\\ y=& & -\frac{13}{8}c.\end{array}$

Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1/16\\ -13/8\\ 1\end{array}\right].$

Ker pa je c spremenljivka, lahko to poenostavimo v

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right].$

Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R³).

Lastnosti podprostora

Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:

1. Null(A) vedno vključuje ničelni vektor.
2. Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
3. Če je x ∈ Null(A) in je c skalar, potem je tudi c x ∈ Null(A).

Baza

Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije. To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic, da bi našli bazo za ničelni prostor:

Vhod m × n matrika A.

Izhod baza ničelnega prostora A

1. Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika.
2. Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x₁, x₂, ..., x_n so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
3. za vsako prosto spremenljivko x_i, izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je x_i = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A.

Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}1& & 0& & -3& & 0& & 2& & -8\\ 0& & 1& & 5& & 0& & -1& & 4\\ 0& & 0& & 0& & 1& & 7& & -9\\ 0& & 0& & 0& & 0& & 0& & 0\end{array}\right]\text{.}$

V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x₃, x₅ in x₆ kot prostimi spremenljivkami so

$\begin{array}{cccccccccccccc}{x}_1& & =& & 3x_3& & -& & 2x_5& & +& & 8x_6& \\ x_2& & =& & -5x_3& & +& & x_5& & -& & 4x_6& \\ x_4& & =& & & & -& & 7x_5& & +& & 9x_6& .\end{array}$

To lahko zapišemo kot

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ -7\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_6\left[\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0\\ 9\\ 0\\ 1\end{array}\right]\text{.}$

Torej so trije vektorji

$\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ \mathrm{𝟎}\\ -7\\ \mathrm{𝟏}\\ \mathrm{𝟎}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}8\\ -4\\ \mathrm{𝟎}\\ 9\\ \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟏}\end{array}\right]$

baza ničelnega prostora za A.

Nehomogene enačbe

Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:

$𝐀\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{b}}\text{ali}\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & b_m\\ \end{array}$

Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja

$𝐀(\mathbf{\text{u}}-\mathbf{\text{v}})=𝐀\mathbf{\text{u}}-𝐀\mathbf{\text{v}}=\mathbf{\text{b}}-\mathbf{\text{b}}=\mathbf{\text{0}}$

To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A.

Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja

$\{\mathbf{\text{v}}+\mathbf{\text{x}}:\mathbf{\text{x}}\in \text{Null}(𝐀)\}\text{,}$

kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b. Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v.

Glej tudi

• matrika
• Jedro (algebra)
• evklidski podprostor