Kaprekarjevo število

Kaprékarjevo števílo je v matematiki pozitivno celo število, za katerega lahko v dani osnovi števke njegovega kvadrata razdelimo na dve števili z enakim številom števk, kot jih ima število, pri čemer je vsota novih števil enaka številu samemu. Pri tem velja:

$k^2=l10^n+r,$

$k=l+r;n\ge 1,l\ge 1,0<r<10^n.$

Število 1 je Kaprekarjevo po dogovoru, saj velja:

$1^2=0\cdot 10^n+1,1=0+1.$

$9:9^2=81;8+1=9$

$45:45^2=2025;20+25=45$

$55:55^2=3025;30+25=55$

$99:99^2=9801;98+1=99$

$297:297^2=88209;88+209=297$

$703:703^2=494209;494+209=703$

$999:999^2=998001;998+1=999$

$2223:2223^2=4941729;494+1729=2223$

Prva Kaprekarjeva števila so Predloga:OEIS:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272,...

Kaprekarjeva števila se imenujejo po indijskem matematiku Šriju Datatreju Ramačandru Kaprekarju (1905-1986), ki jih je predstavil leta 1980.

Vsako število oblike 10ⁿ za n ≥ 1 je Kaprekarjevo, saj velja:

${(10^2-1)}^2=(10^n-2)10^n+1,$

$10^n-1=(10^n-2)+1.$

Vidi se, da število 0 ni Kaprekarjevo.

Druge značilnosti

Soda popolna števila so Kaprekarjeva v dvojiškem sistemu.

Na primer:

$6_{[2]}=110,$

$110^2=100100,10+0100=110,$

ali:

$496_{[2]}=111110000,$

$111110000^2=111100000100000000,11110000+0100000000=111110000$

Tudi za druge potence obstajajo Kaprekarjeva števila.