Komutacijska matrika

Komutacijska matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo vektorske oblike matrike v vektorsko obliko njene transponirane matrike.

Komutacijska matrika K^(m,n) ima razsežnost $mn\times mn$ za katerokoli matriko $A$ z razsežnostjo $m\times n$, ki pretvori vec(A) v vec(A^T):

$K^{(mn)}vec(A)=vec(A^T)$

kjer je

• $vec(A)$ stolpični vektor z razsežnostjo $mn\times 1$, ki ga dobimo tako, da postavimo stolpce matrike $A$ enega nad drugega

$vec(A)=[A_{11},\dots ,A_{m1},A_{m2},\dots ,A_{1n},\dots ,A_{mn}{]}^T$

Glavna uporaba komutacijske matrike je pri komutiranju (glej komutativnost) Kroneckerjevega produkta, kjer za vsako matriko $A$ z razsežnostjo $m\times n$ in matriko $B$ z razsežnostjo $r\times q$, velja

$K^{(mn)}(A\otimes B)K^{(nq)}=B\otimes A$