Kvadratni koren števila 5

Predloga:Iracionalna števila
dvojiško	Predloga:Gaps
desetiško	Predloga:Gaps
šestnajstiško	Predloga:Gaps
šestdesetiško	2; 14, 09, 50, 40, 59, 18, ...
verižni ulomek	$[2;\bar{4}]$ Predloga:Small

Kvadratni koren števila 5 je pozitivno realno število, ki pomnoženo samo s seboj da naravno število 5. Točneje se imenuje glavni kvadratni koren števila 5, da se ga ločuje od negativnega števila z enako značilnostjo. Označuje se v obliki surda:

$\sqrt{5}.$    ali   √5,

lahko pa se ga zapiše tudi s potenčnim zapisom kot:

$5^{1/2}$    ali    5^1/2, oziroma z zapisom Unicode 5^½.

Število se pojavlja v zapisu števila zlatega reza z ulomkom. Je iracionalno algebrsko število.

Njegova vrednost na 65 desetiških mest je Predloga:OEIS:

Predloga:Gaps

Do sedaj so izračunali vsaj deset milijard desetiških števk (10Predloga:E). Zaokrožena vrednost 2,236 je točna z napako manjšo od 0,01 % dejanske vrednosti.

Dokazi iracionalnosti

Dokaz z neskončnim spustom

Dokaz iracionalnosti kvadratnega korena števila 5 vsebuje Fermatovo metodo neskočnega spusta:

Predpostavi se, da je $\sqrt{5}$ racionalno število in se ga izrazi s pokrajšanimi členi (kot popolnoma okrajšani ulomek) $\frac{m}{n}$ za naravni števili Predloga:Math in Predloga:Math.

Tako se lahko $\sqrt{5}$ izrazi z nižjimi členi od $\frac{m}{n}$ kot $\frac{5n-2m}{m-2n}$, kar je protislovje. Oba izraza z ulomkoma sta enaka, ker če se ju izenači, križem pomnoži in pokrajša enake aditivne člene, velja: $5n^2=m^2$ in $\frac{m}{n}=\sqrt{5}$, kar je po premisi pravilno. Drugi izraz z ulomkoma za $\sqrt{5}$ ima najmanjše člene, ker s primerjanjem imenovalcev velja $m-2n<n$, ker je $m<3n$, ker je $\frac{m}{n}<3$ in $\sqrt{5}<3$. Števec in imenovalec v drugem izrazu z ulomkoma sta pozitivna, ker je $2<\sqrt{5}<\frac{5}{2}$ in $\frac{m}{n}=\sqrt{5}$.

Dokaz s protislovjem

Pri drugem dokazu se predpostavi, da je $\sqrt{5}=\frac{m}{n}$, kjer je $\frac{m}{n}$ popolnoma okrajšani ulomek:

Če se oba člena pomnožita z Predloga:Math in nato kvadrirata, je:

$5n^2=m^2.$

Če bi bil n sod, bi bili sodi tudi $n^2$, $m^2$ in m, tako da ulomek ne bi bil $\frac{m}{n}$ pokrajšan. Tako, če je n lih, bo po enakem procesu lih tudi m.

Naj je $m=2k+1$ in $n=2l+1$, kjer sta k in l celi števili. Če se v $5n^2=m^2$ zamenja, velja:

$5(2l+1{)}^2=(2k+1{)}^2,$

kar se poenostavi v:

$5(4l^2+4l+1)=(4k^2+4k+1)$

in velja:

$20l^2+20l+5=4k^2+4k+1.$

Če se na obeh straneh odšteje 1, velja:

$20l^2+20l+4=4k^2+4k,$

kar se poenostavi v:

$5l^2+5l+1=k^2+k,$

oziroma:

$5l(l+1)+1=k(k+1).$

Izraz $x(x+1)$ je sod za poljubno celo število x (saj je sod x ali Predloga:Math). Zadnji izraz pravi, da je 5 krat sodo število + 1 = sodo, ali liho = sodo. Ne obstaja celo število, ki bi bilo hkrati sodo in liho, zato je to protislovje in $\sqrt{5}$ je iracionalno število.

Značilnosti

Geometrija

Conwayjeva dekompozicija pravokotnega trikotnika 1:2:$\sqrt{5}$ v pet homotetičnih manjših pravokotnih trikotnikov.

Geometrično $\sqrt{5}$ odgovarja diagonali pravokotnika, katere stranici imata dolžini 1 2, kar je razvidno iz Pitagorovega izreka. Ta pravokotnik se dobi z razpolovitvijo kvadrata, ali z združitvijo dveh enakih kvadratov ob eno stranico. Skupaj z algebrskim izrazom med $\sqrt{5}$ in Predloga:Math to tvori osnovo za geometrijsko konstrukcijo zlatega pravokotnika iz kvadrata, in za konstrukcijo pravilnega petkotnika s podano dolžino stranice, (saj je razmerje med stranico in diagonalo v pravilnem petkotniku enako Predloga:Math).

Če se tvori diedrski pravi kot z dvema enakima kvadratoma, ki razpolavljata pravokotnik 1:2, se lahko vidi, da $\sqrt{5}$ odgovarja tudi razmerju med dolžino robu kocke in najkrajši razdalji med enim njenim ogliščem do nasprotnega pri prečnem rezu površine kocke (najkrajša razdalja pri prečnem rezu skozi notranjost kocke odgovarja dolžini diagonale kocke, ki je enaka produktu med √3 in robom).

Število $\sqrt{5}$ se lahko algebrsko in geometrično poveže s √2 in √3, saj je enako dolžini hipotenuze pravokotnega trikotnika z dolžinama katet $\sqrt{2}$ in $\sqrt{3}$, kar spet izhaja iz Pitagorovega izreka. Pravokotni trikotniki s takšnimi razmerji se lahko najdejo znotraj kocke: stranica poljubnega trikotnika, ki jo določa središčna točka kocke, eno od njenih oglišč in razpolovišče stranice na eni ploskvi, ki vsebuje tisto oglišče in mu je nasprotna – njihovo razmerje je enako Predloga:Nowrap To sledi iz geometrijske povezave med kocko in količinami $\sqrt{2}$ (razmerje med robom in diagonalo ploskve, ali razdalja med nasprotnimi robovi), $\sqrt{3}$ (razmerje med robom in diagonalo kocke) in $\sqrt{5}$ (razmerje omenjeno zgoraj).

Pravokotnik z dolžinama stranic v razmerju 1:$\sqrt{5}$ se imenuje pravokotnik korena števila 5 in spada v družino korenskih pravokotnikov, podmnožice dinamičnih pravokotnikov, ki imajo za osnovo števila Predloga:Nowrap in so zapovrstjo skonstruirani z diagonalo predhodnega korenskega pravokotnika z začetkom pri kvadratu. Pravokotnik korena števila 5 je še posebej znan, ker se lahko razdeli na kvadrat in dva skladna zlata pravokotnika (razsežnosti Predloga:Nowrap), ali na dva zlata pravokotnika različnih velikosti (razsežnosti Predloga:Nowrap in Predloga:Nowrap). Lahko se razstavi tudi na dva skladna zlata pravokotnika (razsežnosti Predloga:Nowrap), katerih presečišče tvori kvadrat. Vse to se lahko vidi kot geometrijska predstavitev algebrskih povezav med $\sqrt{5}$, Predloga:Math in Predloga:Math, omenjenih zgoraj. Pravokotnik korena števila 5 se lahko skonstruira iz pravokotnika 1:2 (pravokotnika korena števila 4) ali neposredno iz kvadrata v smislu podobnem za zlati pravokotnik prikazanem na sliki, pri čemer se dolžina loka $\frac{\sqrt{5}}{2}$ razširi na obe strani.

Trigonometrija

Kakor $\sqrt{2}$ in $\sqrt{3}$ se tudi $\sqrt{5}$ velikokrat pojavlja v formulah za točne trigonometrične konstante, na primer sinusi in kosinusi vsakega kota, katerih vrednost v stopinjah je deljiva s 3 ne pa s 15. Najpreprostejše med njimi so:

$\begin{array}{cc}\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }& =\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)=\frac{1}{\sqrt{5}+1},\\ \sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }& =\frac{1}{4}\sqrt{2(5-\sqrt{5})},\\ \sin \frac{3\pi }{10}=\sin 54^{\circ }& =\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)=\frac{1}{\sqrt{5}-1},\\ \sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }& =\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}.\end{array}$

Kot tak je računanje njegove vrednosti pomembno za izdelavo trigonometričnih tabel. Ker je $\sqrt{5}$ geometrično povezan s polkvadratnimi pravokotniki in petkotniki, se poosto pojavlja tudi v formulah za geometrijske značilnosti likov in teles izvedenih iz njih, kot na primer v formulah za površino in prostornino dodekaedra:

$P=3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}$

$V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5}).$

Obratna vrednost

Obratna vrednost $\sqrt{5}$ je Predloga:OEIS:

$\frac{1}{\sqrt{5}}=0,4472135954999579392818347337462552470881236719223051448541794490\dots .$

Verižni ulomek

Število $\sqrt{5}$ je kvadratno iracionalno število in je zato njegov razvoj v neskončni verižni ulomek periodičen Predloga:OEIS:

$\begin{array}{cc}\sqrt{5}& =2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots }}}}}\equiv [2;4,4,4,4,4,4,4,\dots ]\equiv [2;\bar{4}]\\ & =\{2,\frac{7}{3},\frac{9}{4},\frac{20}{9},\frac{29}{13},\frac{38}{17},\frac{123}{55},\frac{161}{72},\frac{360}{161},\frac{521}{233},\frac{682}{305},\frac{2207}{987},\frac{2889}{1292},\frac{6460}{2889},\frac{9349}{4181},\frac{12238}{5473},\dots \}.\end{array}$

Konvergenti verižnega ulomka so označeni z rdečo, njihovi števci so: 2, 9, 38, 161, ... Predloga:OEIS, imenovalci pa: 1, 4, 17, 72, ... Predloga:OEIS. Drugi členi, označeni s črno, so polkonvergenti. Vrednost vsakega prvega polkonvergenta mora biti boljša od vrednosti predhodnega konvergenta.

Povezava z zlatim rezom in Fibonaccijevimi števili

Diagonala $\frac{\sqrt{5}}{2}$ polkvadrata predstavlja osnovo za geometrijsko konstrukcijo zlatega pravokotnika.

Število zlatega reza Predloga:Math je aritmetična sredina števila 1 in $\sqrt{5}$. Algebrska povezava med $\sqrt{5}$, Predloga:Math in obratno vrednostjo Predloga:Math ($\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{\Phi }-1$) je dana z naslednjimi formulami:

$\sqrt{5}=\mathrm{\Phi }+\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=2\mathrm{\Phi }-1=\frac{2}{\mathrm{\Phi }}+1$

$\mathrm{\Phi }=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

(Glej razdelek o njihovih geometrijskih predstavitvah kot dekompozicije pravokotnika $\sqrt{5}$.)

$\sqrt{5}$ se lahko izrazi v sklenjeni obliki izraza za Fibonaccijeva števila, formuli, ki se po navadi zapiše s številom zlatega reza:

$F\left(n\right)=\frac{{\mathrm{\Phi }}^n-(1-\mathrm{\Phi }{)}^n}{\sqrt{5}}.$

Količnik med $\sqrt{5}$ in Predloga:Math (ali produkt $\sqrt{5}$ in Predloga:Math) in njegova obratna vrednost data zanimiv vzorec verižnih ulomkov. Povezani so z razmerji med Fibonaccijevimi in Lucasovimi števili:

$\frac{\sqrt{5}}{\mathrm{\Phi }}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}=1,3819660112501051517\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ],$ Predloga:OEIS,

$\frac{\mathrm{\Phi }}{\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}=0,72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ],$ Predloga:OEIS.

Zaporedji konvergentov teh vrednosti data v števcu Fibonaccijeva in v imenovalcu Lucasova števila, ter obratno:

$1,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{7}{5},\frac{11}{8},\frac{18}{13},\frac{29}{21},\frac{47}{34},\frac{76}{55},\frac{123}{89},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

in:

$1,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{7},\frac{8}{11},\frac{13}{18},\frac{21}{29},\frac{34}{47},\frac{55}{76},\frac{89}{123},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].$

Kvadratni koren števila −5

Množenje $\sqrt{5}$ z imaginarno enoto da kvadratni koren števila −5, imaginarno število. Točneje:

$\sqrt{-5}=\pm \sqrt{5}i.$

Je Eisensteinovo celo število. Izraženo je kot razlika med nerealnimi kubičnimi koreni iz 1, (ki so Eisensteinova cela števila).

Diofantski približki

Hurwitzev izrek v teoriji diofantskih približkov pravi, da se lahko vsako iracionalno število Predloga:Math predstavi z neskončno mnogo racionalnimi števili $\frac{m}{n}$ v okrajšani obliki tako, da velja:

$|x-\frac{m}{n}|<\frac{1}{\sqrt{5}{n}^2}$

in da je $\sqrt{5}$ najboljši možni približek v smislu, da za katerokoli večjo konstanto od $\sqrt{5}$ obstajajo nekatera takšna iracionalna števila Predloga:Math za katera obstaja le končno mnogo takšnih približkov.

Soroden je izrek, da za poljubne tri zaporedne konvergente $\frac{p_i}{q_i}$, $\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$, $\frac{p_{i+2}}{q_{i+2}}$ števila Predloga:Math, velja vsaj ena od naslednjih neenakosti:

$|\alpha -\frac{p_i}{q_i}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}_i^2},|\alpha -\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}_{i+1}^2},|\alpha -\frac{p_{i+2}}{q_{i+2}}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}_{i+2}^2}.$

In $\sqrt{5}$ v imenovalcu je najboljša možna meja, ker je za konvergente števila zlatega reza razlika na levi strani poljubno blizu vrednosti na desni strani. Še posebej se ne da dobiti ostrejše meje, če se upošteva štiri ali več zaporednih konvergentov.

Algebra

Kolobar $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ vsebuje števila oblike Predloga:Math, kjer so Predloga:Math in Predloga:Math cela števila, $\sqrt{-5}$ pa je imaginarno število Predloga:Math. Ta kolobar je primer domene celostnosti, ki ni faktorski kolobar. Število 6 se v tem kolobarju lahko razstavi na dva neenakovredna načina:

$6=2\cdot 3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}).$

Komutativni obseg $\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]$, kakor katerikoli kvadratni komutativni obseg (kvadratno polje), je abelovska razširitev racionalnih števil. Kronecker-Webrov izrek tako zagotavlja, da se lahko kvadratni koren števila 5 zapiše kot racionalna linearna kombinacija korenov enote:

$\sqrt{5}=e^{\frac{2\pi }{5}i}-e^{\frac{4\pi }{5}i}-e^{\frac{6\pi }{5}i}+e^{\frac{8\pi }{5}i}.$

Računanje

Konvergenčna metoda

Za računanje $\sqrt{5}$ obstaja več metod. Ena od njih uporablja rekurzivno zaporedje in da člene [2;,...,a_n+1], nekatere polkonvergente in delne količnike neskončnega verižnega ulomka:

$a_1=\lfloor \sqrt{k}\rfloor ,a_{n+1}=\frac{a_n+k}{a_n+1},(n=1,2,3,\dots ),$

kjer je $\lfloor \sqrt{k}\rfloor$ celi del števila $k$. Za $k=5$ so prvi približki:

$a_1=\lfloor \sqrt{5}\rfloor =2,$

$a_2=\frac{a_1+5}{a_1+1}=\frac{7}{3}=2,\bar{3},$

$a_3=\frac{a_2+5}{a_2+1}=\frac{11}{5}=2,2,$

$a_4=\frac{a_3+5}{a_3+1}=\frac{9}{4}=2,25,$

$a_5=\frac{a_4+5}{a_4+1}=\frac{29}{13}=2,\overline{230769},$

$a_6=\frac{a_5+5}{a_5+1}=\frac{47}{21}=2,\overline{238095},$

$a_7=\frac{a_6+5}{a_6+1}=\frac{38}{17}=2,\overline{2352941176470588},$

$a_8=\frac{a_7+5}{a_7+1}=\frac{123}{55}=2,2\overline{36},$

$\begin{array}{cc}{a}_9& =\frac{a_8+5}{a_8+1}=\frac{199}{89}\\ & =2,\overline{235955056179775280898876404494\dots },\end{array}$

$a_{10}=\frac{a_9+5}{a_9+1}=\frac{161}{72}=2,236\bar{1},$

$\begin{array}{cc}{a}_{11}& =\frac{a_{10}+5}{a_{10}+1}=\frac{521}{233}\\ & =2,\overline{236051502145922746781115879828\dots },\end{array}$

...

Približki z lihimi indeksi strogo naraščajo in so manjši od $\sqrt{5}$, približki s sodimi indeksi pa strogo padajo in so večji od $\sqrt{5}$.

Babilonska metoda

V drugi rekurzivni metodi, ki uporablja aritmetično sredino, približki konvergirajo kvadratično in zaporedje je monotono padajoče. n-ti člen je enak 2^n-1-temu konvergentu neskončnega verižnega ulomka. Metodo pripisujejo Heronu, znana pa je bila verjetno že Babiloncem:

$a_1=\lfloor \sqrt{k}\rfloor ,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{k}{a_n}),(n=1,2,3,\dots ),$

$a_1=\lfloor \sqrt{5}\rfloor =2,$

$a_2=\frac{1}{2}(a_1+\frac{5}{a_1})=\frac{9}{4}=2,25,$

$a_3=\frac{1}{2}(a_2+\frac{5}{a_2})=\frac{161}{72}=2,236\bar{1},$

$\begin{array}{cc}{a}_4& =\frac{1}{2}(a_3+\frac{5}{a_3})=\frac{51841}{23184}\\ & =2,2360\overline{79779158040027605244996549\dots },\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_5& =\frac{1}{2}(a_4+\frac{3}{a_4})=\frac{5374978561}{2403763488}\\ & =2,23606\overline{7977499789696447872828327\dots },\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_6& =\frac{1}{2}(a_5+\frac{3}{a_5})=\frac{57780789062419261441}{25840354427429161536}\\ & =2,236067977499789696409173668731\dots ,\end{array}$

...

Prvi člen je lahko tudi drug, ki je bližje iskanemu številu, na primer naslednji lihi približek iz prve metode $\frac{11}{5}$, kar da:

$a_1=\frac{11}{5}=2,2,$

$a_2=\frac{1}{2}(a_1+\frac{3}{a_1})=\frac{123}{55}=2,2\overline{36},$

$a_3=\frac{1}{2}(a_2+\frac{3}{a_2})=\frac{15127}{6765}=2,2\overline{36067997043606799704},$

$\begin{array}{cc}{a}_4& =\frac{1}{2}(a_3+\frac{5}{a_3})=\frac{228826127}{102334155}\\ & =2,2\overline{360679774997897818182013619988},\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_5& =\frac{1}{2}(a_4+\frac{3}{a_4})=\frac{52361396397820127}{23416728348467685}\\ & =2,2\overline{36067977499789696409173668731\dots },\end{array}$

...

Ramanudžanove enakosti

$\sqrt{5}$ se pojavlja v mnogih Ramanudžanovih enakostih, ki vsebujejo verižne ulomke.

Na primer naslednji primer Rogers-Ramanudžanovega verižnega ulomka:

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{\frac{2\pi }{5}}=e^{\frac{2\pi }{5}}(\sqrt{\mathrm{\Phi }\sqrt{5}}-\mathrm{\Phi }).$

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1+\sqrt[5]{5^{\frac{3}{4}}(\mathrm{\Phi }-1{)}^{\frac{5}{2}}-1}}-\mathrm{\Phi })e^{\frac{2\pi }{\sqrt{5}}}.$

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{e}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3^2}{1+\ddots }}}}}}}.$

Glej tudi

• zlati rez
• kvadratni koren
• kvadratni koren števila 2
• kvadratni koren števila 3

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat