Lambertova vrsta

Lambertova vŕsta [lámbertova ~] je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil neskončna vrsta oblike:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{q}^n}{1-q^n}=\frac{a_{1}q}{1-q}+\frac{a_2{q}^2}{1-q^2}+\dots ,(|q|>1).$

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku, astronomu in filozofu Johannu Heinrichu Lambertu. Lahko se strne formalno z razvojem imenovalca:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m,$

kjer so koeficienti nove vrste dani z Dirichletovo konvolucijo koeficientov $a_n$ s konstantno funkcijo $1(n)=1$:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n|m}{a}_n.$

Ta vrsta se lahko obrne z Möbiusovo inverzno formulo in je zgled Möbiusove transformacije.

Zgledi

Ker je zadnja vsota tipična vsota teorije števil, bodo skoraj vse naravne multiplikativne funkcije eksaktno seštevljive pri uporabi v Lambertovi vrsti. Tako je na primer:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_0(n)q^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n},$

kjer je ${\sigma }_0(n)\equiv d(n)\equiv \tau (n)$ funkcija števila pozitivnih deliteljev števila $n$.

Za funkcije deliteljev višjega reda je:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{\alpha }(n)q^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }{q}^n}{1-q^n},$

kjer je $\alpha$ poljubno kompleksno število,

${\sigma }_{\alpha }(n)=({\text{Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d|n}{d}^{\alpha }$

pa je funkcija deliteljev.

Lambertovo vrsto v kateri so koeficienti $a_n$ trigonometrične funkcije, na primer $a_n=\sin (2nx)$, se lahko izračuna z različnimi kombinacijami logaritemskega odvoda Jacobijevih funkcij ϑ.

Druge Lambertove vrste so tudi za Möbiusovo funkcijo $\mu (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)q^n}{1-q^n}=q.$

Za Eulerjevo funkcijo $\varphi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)q^n}{1-q^n}=\frac{q}{(1-q{)}^2}.$

Za Liouvillovo funkcijo $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{1}{2}({\vartheta }_3(q)-1),$

kjer je vsota na levi podobna Ramanudžanovi funkciji ϑ.

Sorodno za alternirajočo vrsto oblike:

$4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{q}^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_2(n)q^n={\vartheta }_3^2(q)-1,$

kjer je $r(n)$ število predstavitev $n$ v obliki $n=A^2+B^2$, kjer sta $A$ in $B$ racionalni celi števili. Obakrat je ${\vartheta }_3(q)$ Jacobijeva eliptična funkcija izražena kot funkcija ϑ.

Alternativna oblika

Če se zamenja spremenljivka $q=e^{-z}$, se dobi druga običajna oblika za Lambertovo vrsto:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{e}^{-mz},$

kjer so koeficienti dani z:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{d|m}{a}_d$

enako kot prej. Primeri Lambertovih vrst v tej obliki z $z=2\pi$ se pojavljajo za Riemannovo funkcijo $\zeta (s)$ za vrednosti lihih celih števil. Za podrobnosti glej konstanta zeta.

Trenutna raba

Viri navajajo Lambertovo vrsto za različne vrste vsot. Ker je na primer $q^n/(1-q^n)={\mathrm{Li}}_0(q^n)$ funkcija polilogaritma, se lahko vsaka vsota oblike:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\xi }^n{\mathrm{Li}}_u(\alpha q^n)}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n{\mathrm{Li}}_s(\xi q^n)}{n^u}$

obravnava kot Lambertova vrsta, pri čemer so parametri ustrezno omejeni. Tako se lahko:

$12{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{\mathrm{Li}}_{-1}(q^n))}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{\mathrm{Li}}_{-5}(q^n)-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^4{\mathrm{Li}}_{-3}(q^n),$

za vse kompleksne $q$, ki ne ležijo na enotski krožnici, obravnava kot enakost Lambertove vrste. Enakost sledi neposredno iz nekaterih enakosti, ki jih je objavil Ramanudžan. Zelo temeljite raziskave Ramanudžanovega dela se lahko najdejo v Berndtovem delu.

Glej tudi

• Erdős-Borweinova konstanta

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Lambert series na PlanetMath Predloga:Ikona en