Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom (tudi množenje vektorja s skalarjem) je matematična operacija, ki številu (skalarju) $n$ in vektorju $\overrightarrow{a}$ priredi vektor $n\overrightarrow{a}$.

Opozorilo: Množenje vektorja s skalarjem ni isto kot skalarni produkt – teh dveh računskih operacij ne smemo zamenjevati.

Definicija

Rezultat množenja vektorja $\overrightarrow{a}$ s številom $n$ je vektor $n\overrightarrow{a}$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• Vektor $n\overrightarrow{a}$ je vzporeden z danim vektorjem $\overrightarrow{a}$.
• Dolžina vektorja $n\overrightarrow{a}$ je $|n|$-krat tolikšna kot dolžina vektorja $\overrightarrow{a}$.
• Če je $n>0$, je $n\overrightarrow{a}$ enako orientiran kot $\overrightarrow{a}$; če je $n<0$, pa je $n\overrightarrow{a}$ orientiran nasprotno kot $\overrightarrow{a}$.
• Če množimo vektor $\overrightarrow{a}$ s številom $0$, dobimo ničelni vektor $\overrightarrow{0}$.

Množenje vektorja s (pozitivnim) številom torej pomeni razteg ali skrčitev vektorja, njegova smer pa ostane nespremenjena.

Lastnosti

Množenje vektorja s številom ima naslednje računske lastnosti:

• Distributivnost glede na seštevanje števil: $(n+m)\overrightarrow{a}=n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}$
• Distributivnost glede na seštevanje vektorjev: $n(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=n\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$
• Homogenost: $n(m\overrightarrow{a})=(nm)\overrightarrow{a}=m(n\overrightarrow{a})$
• Nevtralni element je število 1: $1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

V običajnem trirazsežnem prostoru lahko vektor zapišemo kot:

$\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$

Pri množenju takega vektorja številom $n$ se vse tri koordinate pomnožijo z $n$:

$n\overrightarrow{a}=\left[\begin{array}{c}n{a}_1\\ n{a}_2\\ n{a}_3\end{array}\right]$

Posplošitve

Računsko operacijo množenje vektorja s skalarjem v matematiki posplošimo tudi na večrazsežne vektorje. Pri množenju takega vektorja številom $n$ se vse koordinate (komponente) pomnožijo z $n$.

Posplošimo lahko tudi pojem "skalar" oziroma "število": namesto običajnih realnih števil lahko uporabimo na primer kompleksna števila ali tudi elemente kakšnega drugega matematičnega obsega.