Nilpotentna matrika

Nilpotentna matrika je kvadratna matrika $A$ za katero velja

$A^n=0\text{za}n\in \mathbb{N}$

kjer je

• $0$ ničelna matrika.

Najmanše naravno število $n$ se imenuje stopnja nilpotentnosti.

Nilpotentna transformacija je linearna transformacija $L$ vektorskega prostora tako, da je $L^k=0$ za pozitivno celo število $k$.

Primer

Naslednja matrika ima stopnjo nilpotentnosti 2

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

ker je

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Lastnosti

Matrika

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

je nilpotentna, ker je

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$.

Lastnosti

• če je matrika $N$ nilpotentna, potem je matrika $I+N$ obrnljiva matrika, ki jo dobimo kot

$(I+N{)}^{-1}=I-N+N^2-N^3+\cdots ,$

kjer je

• • $I$ enotska matrika $n\times n$
  • v vsoti samo končno število vrednosti različnih od nič
• če je matrika $N$ nilpotentna, potem velja tudi

$\det (I+N)=1,$

kjer je

• • $I$ enotska matrika $n\times n$

Velja tudi obratno: Če za matriko $A$ velja $\det (I+tA)=1,$, potem je matrika $A$ nilpotentna.

• vsaka singularna matrika se lahko zapiše kot zmnožek nilpotentnih matrik; matrika $A$ je nilpotentna samo, če in samo, če so njene lastne vrednosti enake 0 .

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Nipotentna matrika Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Milpotentna transformacija na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Nilpotentna matrika na MathWorld Predloga:Ikona en