Pitagorejsko praštevilo

Pitagorejsko praštevilo 5 in njegov kvadratni koren sta hipotenuzi pravokotnih trikotnikov s celoštevilskimi katetami – (3, 4) in (2, 1).

Pitagoréjsko práštevílo je v matematiki praštevilo oblike:

$4n+1;n\ge 1.$

To so ravno praštevila, ki so hipotenuze pitagorejskega trikotnika. Število 5 je na primer pitagorejsko praštevilo – $\sqrt{5}$ je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 2 in 1, 5 pa je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 3 in 4. Prva pitagorejska praštevila so Predloga:OEIS:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Po Dirichletovem izreku o aritmetičnih zaporedjih je to celoštevilsko zaporedje neskončno.

Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov (Fermat-Eulerjev izrek) pravi, da se lahko takšna praštevila izrazi enolično (do reda) kot vsote dveh kvadratov, in, da se na ta način ne da izraziti nobenega drugega praštevila razen $2=1^2+1^2$. Tako so ta praštevila (in 2) norme Gaussovih celih števil, druga praštevila pa ne.

Kvadratni recipročnostni zakon pravi, da če sta $p$ in $q$ lihi praštevili, je vsaj eno od njiju pitagorejsko, in je $p$ kvadratni ostanek mod $q$, če in samo če je $q$ kvadratni ostanek mod $p$. Na drugi strani, če $p$ ali $q$ nista pitagorejski, je $p$ kvadratni ostanek mod $q$, če in samo če $q$ ni kvadratni ostanek mod $p$. −1 je kvadratni ostanek mod $p$, če in samo če je $p$ pitagorejsko praštevilo (ali 2).

Glej tudi

• pitagorejska trojica