Porazdelitev gama

Porazdelitev gama
Slika:Gamma distribution pdf sl.PNG Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama.
Slika:Gamma distribution cdf sl.PNG Zbirna funkcija verjetnosti za porazdelitev gama.
oznaka	$\text{Gamma}(k,\theta )$ ali $\mathrm{\Gamma }(k,\theta )$
parametri	$k>0$ parameter oblike $\theta >0$ parameter merila
interval	$x\in [0,\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$x^{k-1}\frac{\exp (-x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k){\theta }^k}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{\gamma (k,x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k)}$
pričakovana vrednost	$k\theta$
mediana	nima enostavne oblike
modus	$(k-1)\theta \text{ za }k\ge 1$
varianca	$k{\theta }^2$
simetrija	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
sploščenost	$\frac{6}{k}$
entropija	$k+\ln \theta +\ln \mathrm{\Gamma }(k)$ $+(1-k)\psi (k)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-\theta t{)}^{-k}\text{ za }t<1/\theta$
karakteristična funkcija	$(1-\theta it{)}^{-k}$

Porazdelitev gama je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Določena je z dvema parametroma, od katerih je prvi parameter merila, drugi pa parameter oblike.

Porazdelitev gama slučajne spremenljivke $X$ označujemo na dva načina:

$X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )\text{ ali }X\sim \text{Gamma}(k,\theta ).$

Opomba: po prvem načinu lahko zamenjamo funkcijo gama s porazdelitvijo in je zaradi tega bolj ugodna druga vrsta označevanja porazdelitve.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev gama je

$x^{k-1}\frac{\exp (-x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k){\theta }^k}$

kjer je

• $\mathrm{\Gamma }(k)$ funkcija gama

Porazdelitev gama lahko opišemo tudi s parametrom oblike $\alpha =\theta$ in z obratno vrednostjo parametra merila $\beta =\frac{1}{\theta }$, ki ga imenujemo tudi parameter stopnje.

V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka

$g(x;\alpha ,\beta )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}\text{ za }x>0.$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\frac{\gamma (k,x/\theta )}{\mathrm{\Gamma }(k)}$

kjer je

• $\gamma (k,x/\theta )$ nepopolna funkcija gama
• $\mathrm{\Gamma }(k)$ funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k\theta$.

Varianca

Varianca je enaka

$k{\theta }^2$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{6}{k}$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če ima slučajna spremenljivka $X$ porazdelitev gama $X\sim \text{Gamma}(k=1,\theta =1/\lambda )$, potem ima slučajna spremenljivka $X$ tudi eksponencialno porazdelitev s parametrom merila λ.
• Če za slučajno spremenljivko $X$ velja $X\sim \text{Gamma}(k=\nu /2,\theta =2)$, potem ima $X$ hi-kvadrat porazdelitev z $\mu$ prostostnimi stopnjami. Obratno pa velja, če je $Q\sim {\chi }^2(\nu )$ in je $c$ pozitivna konstanta, potem velja tudi $c\cdot Q\sim \text{Gamma}(k=\nu /2,\theta =2c)$.
• Če za slučajno spremenljivko $X$ velja, da je njen kvadrat porazdeljen po gama porazdelitvi $X^2\sim \text{Gamma}(3/2,2a^2)$, potem ima slučajna spremenljivka $X$ Boltzmannovo porazdelitev s parametrom $a$.
• Kadar je slučajna spremenljivka $X$ porazdeljena na naslednji način $X\sim \mathrm{S}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}(\theta )$ (poseben tip eksponencialne porazdelitve), potem za slučajno spremenljivko $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+e^{-X})$ velja, da je porazdeljena po gama porazdelitvi $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(1+e^{-X})\sim \mathrm{\Gamma }(1,\theta )$

• Če se slučajna spremenljivka $X$ podreja porazdelitvi $X\sim \text{Gamma}(k,\theta )$ potem ima $1/X$ obratno gama porazdelitev s parametroma $k$ in ${\theta }^{-1}$.
• Če sta slučajni spremenljivki $X$ in $Y$ porazdeljeni neodvisno $X\sim \text{Gamma}(k,\theta )$ in $Y\sim \text{Gamma}(k,\theta )$ potem ima slučajna spremenljivka $\frac{X}{X+Y}$ beta porazdelitev s parametroma $\alpha$ in $\beta$.
• Če so slučajne spremenljivke $X_j$ neodvisno porazdeljene po porazdelitvi $\text{Gamma}({\alpha }_j,\theta )$, potem je vektor $(\frac{X_1}{S},\dots ,\frac{X_n}{S})$

kjer je $S=X_1+X_2+\dots +X_n$
porazdeljen po Diricheltovi porazdelitvi s parametri ${\alpha }_1\dots ,{\alpha }_n$

• za velike $k$ gama porazdelitev konvergira proti Gaussovi porazdelitvi s pričakovano vrednostjo $\mu =k\theta$ in varianco ${\sigma }^2=k{\theta }^2$.
• Wishartova porazdelitev je multivariantna posplošitev gama porazdelitve.
• gama porazdelitev je posebni primer posplošene gama funkcije.

Zunaje povezave

• Opis gama porazdelitve Predloga:Ikona en

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev