Pravilni mnogokotnik

Pravilni mnogokotnik ali pravilni večkotnik je mnogokotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse kote med seboj skladne.

Pravilni mnogokotniki:

Pravilni trikotnik se imenuje tudi enakostranični trikotnik.

Pravilni štirikotnik se imenuje tudi kvadrat.

Splošne značilnosti

Pravilni mnogokotnik je konveksen ali pa je zvezdni mnogokotnik.

Dva pravilna n-kotnika sta vedno podobna. Če imata enako dolgo stranico (a' = a), sta tudi skladna.

Oglišča pravilnega mnogokotnika ležijo na enaki razdalji na krožnici.Predloga:Rp Vsakemu pravilnemu mnogokotniku se da hkrati včrtati in očrtati krožnico. Pravilni mnogokotniki so tako vedno bicentrični. Pri njih sta krožnici istosrediščni.

• polmer včrtane krožnice $r_n$:

$r_n=\frac{a_n}{2\mathrm{tg}\left(\frac{180^{\circ }}{n}\right)}=R_n\cos \left(\frac{180^{\circ }}{n}\right).$

• polmer očrtane krožnice $R_n$:

$R_n=\frac{a_n}{2\sin \left(\frac{180^{\circ }}{n}\right)},$

$R_n^2=r_n^2+\frac{1}{4}{a}_n^2.$

Pravilni mnogokotniki imajo n simetralnih osi.

Koti in diagonale

Za pravilni mnogokotnik veljajo naslednje splošne formule:

• vsota notranjih kotov:

$S_n=(n-2)\cdot 180^{\circ }.$

• vsota zunanjih kotov:

$S{\text{'}}_n=360^{\circ }.$

• število diagonal:

$D_n=\frac{n(n-3)}{2}.$

• (priležni) kot ob osnovnici (kot med stranico in diagonalo):

${\alpha }_n=(1-\frac{2}{n})\cdot 90^{\circ }.$

Obseg in ploščina

Obseg pravilnega n-kotnika s stranico $a_n$ je enak:

$o_n=n{a}_n.$

Ploščino pravilnega n-kotnika s stranico $a_n$ se lahko izračuna po različnih formulah. Izračun temelji na dejstvu, da se lahko pravilni n-kotnik vedno razdeli na n enakokrakih trikotnikov (samo pri šestkotniku so to enakostranični trikotniki).

Če se pozna polmer včrtane krožnice $r_n$:

$p_n=\frac{n{a}_n{r}_n}{2}.$

Če se pozna polmer očrtane krožnice $R_n$:

$p_n=\frac{n{R}_n^2\sin {\phi }_n}{2}.$

Neposredno iz stranice $a_n$:

$p_n=\frac{n{a}_n^2}{4\mathrm{tg}\frac{{\phi }_n}{2}}=\frac{n{a}_n^2{r}_n}{2}.$

V zgornjih dveh formulah je ${\phi }_n=\frac{360^{\circ }}{n}$ središčni kot nad stranico $a_n$.

Povezave med dolžinami stranic in ploščinami med n-kotniki in 2n-kotniki:

$a_{2n}=R_n\sqrt{2-2\sqrt{1-{\left(\frac{a_n}{2R_n}\right)}^2}},a_n=a_{2n}\sqrt{4-\frac{a_{2n}^2}{R_n^2}},$

$p_{2n}=\frac{n{R}_n^2}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\sqrt{1-\frac{4p_n^2}{n^2{R}_n^4}}},p_n=p_{2n}\sqrt{1-\frac{p_{2n}^2}{n^2{R}_n^4}}.$

Glej tudi

• mnogokotnik

Viri

• Predloga:Navedi knjigo