Unitarna matrika

Unitarna matrika (oznaka $U$) je kompleksna matrika za katero velja

$U^{†}U=U{U}^{†}=I_n$

kjer je

• $I_n$ enotska matrika reda $n$
• $U^{†}$ konjugirano transponirana matrika matrike $U$

Matrika $U$ je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani $U^{†}$

$U^{-1}=U^{†}$.

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Lastnosti

Unitarne matrike lahko diagonaliziramo.

Množica unitarnih matrik reda $n$ sestavlja unitarno grupo (oznaka $U(n)$ ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki jo označujemo z $SU(n)$. Grupi $SU(2)$ in $SU(3)$ igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1

$\begin{array}{cc}1& =\det (I)=\det (U{U}^{*})=\det (U)\cdot \det (U^{*})=\det (U)\cdot \det (\stackrel{T}{\stackrel{‾}{U}})\\ & =\det (U)\cdot \det (\bar{U})=\det (U)\cdot \overline{\det (U)}=|\det (U){|}^2.\end{array}$.

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika

${\left(UV\right)}^{-1}=V^{-1}{U}^{-1}=\stackrel{T}{\stackrel{‾}{V}}\stackrel{T}{\stackrel{‾}{U}}={\left(\overline{UV}\right)}^T.$

Stolpci unitarne matrike $A$ tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.

Zunanje povezave

• Unitarna matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• Unitarne matrike Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en