Utežna funkcija

Utéžna fúnkcija (oznaka $w(x)$) je matematični pripomoček, ki ga uporabljamo pri seštevanju, integriranju in računanju povprečij. Utežno funkcijo uporabimo, kadar hočemo, da bi nekateri elementi imeli več vpliva na končni rezultat. Pogosteje se to dogaja v statistiki in analizi. Vse je močno povezano z merjenjem.

Kadar nočemo uporabljati utežne funkcije, je utežna funkcija enaka $w(x)=1$. V tem primeru imajo vsi elementi enak vpliv na končni rezultat in rečemo, da smo dobili neuteženi rezultat. Kadar računamo z utežno funkcijo, rečemo, da smo dobili utežen rezultat, v nasprotnem primeru pa je rezultat neutežen.

Predpostavimo, da je funkcija $f:A\to R^{+}$ realna. V tem primeru je neutežena vsota vrednosti $A$ določena kot:

$\sum _{a\in A}f(a).$

Utežno funkcijo lahko uporabimo za zvezne in nezvezne primere spremenljivk.

Nezvezna uteženost

Če bi v zgornjem primeru uporabili utežno funkcijo $w:A\to {ℝ}^{+}$, bi bila vsota enaka:

$\sum _{a\in A}f(a)w(a).$

Kadar je $B$ končna podmnožica množice $A$, lahko nadomestimo kardinalnost z uteženo kardinalnostjo:

$\sum _{a\in B}w(a).$

Če pa je $A$ končna neprazna množica, lahko nadomestimo neuteženo srednjo vrednost:

$\frac{1}{|A|}\sum _{a\in A}f(a)$

z uteženo aritmetično sredino:

$\frac{\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}.$

V statistiki se uporablja utežna funkcija, da bi se odpravil vpliv nekaterih zunanjih nagnjenj k določenemu rezultatu. Zgled: $f_i$-krat merimo količino $f$. Pri tem je varianca enaka ${\sigma }_1{}^2$. Najboljša ocena meritev se dobi kot povprečje vseh meritev z utežmi $w_i=1/{\sigma }_i{}^2$. Tako dobljena varianca je manjša kot pri vsaki neodvisni meritvi $\sigma =1/\sum w_i$.

V mehaniki imamo primer z $n$ telesi na vzvodu na mestih $x_1,\cdots ,x_n$. Vzvod je v ravnovesju, če je:

$\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{𝒙}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}.$

To pa je uteženo povprečje za lege $x_i$.

Zvezna uteženost

V zvezni uteženosti je uteženost mera $w(x)dx$ v neki domeni $\mathrm{\Omega }$, ki je običajno podmnožica Evklidskega prostora ${ℝ}^n$. Zgled: $\mathrm{\Omega }$ je lahko interval $[a,b]$.

Predpostavimo, da je funkcija $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ funkcija z realnimi vrednostmi. V tem primeru je neutežen integral enak:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx$

to z lahkoto posplošimo na utežen integral:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx.$

Pri tem pa mora biti funkcija $f$ absolutno integrabilna glede na $w(x)dx$ zato, da bi bil integral končen.

Če je $E$ podmnožica $\mathrm{\Omega }$, lahko prostornino vrednosti $E$, pišemo kot uteženo prostornino:

$vol(E)=\underset{E}{\int }w(x)dx.$

Če ima $\mathrm{\Omega }$ končno neničelno prostornino, lahko neuteženo povprečje:

$\frac{1}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx$

zamenjamo z uteženim povprečjem:

$\frac{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)w(x)dx}{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }w(x)dx}.$

Kadar sta $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ in $g:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, lahko posplošimo neuteženi notranji produkt z:

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)dx$

z uteženim notranjim produktom:

$⟨f,g⟩:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)g(x)dx.$