Kardinalnost

Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom.

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.

Kardinalnost množice $A$ se običajno označuje z $|A|$, kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še $\overline{\stackrel{‾}{A}}$ in # A.

Primerjava množic

• $|A|=|B|$. V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz $A$ v $B$).

Zgled: množica $E=0,2,4,6,\dots$ nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica $N=0,1,2,3,\dots$ naravnih števil, ker je funkcija $f(n)=2n$ bijektivna preslikava iz $N$ v $E$.

• $|A|\ge |B|$. V tem primeru ima množica $A$ večjo ali enako kardinalnost kot $B$, če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz $B$ v $A$.
• $|A|>|B|$. V tem primeru je kardinalnost množice $A$ večja od kardinalnosti množice $B$. To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo

iz množice $B$ v množico $A$.

Kardinalno število

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

${\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1<{\mathrm{\aleph }}_2<\dots .$

Za vsako ordinalno število $\alpha$ je ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ najmanjše kardinalno število večje od ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ (oznaka $\mathrm{\aleph }$ je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z ${\mathrm{\aleph }}_0$, (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s $𝔠$ in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja $c=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je ${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. To pa pomeni,da je $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ najmanjše kardinalno število večje od ${\mathrm{\aleph }}_0$. To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma

Kardinalnost kontinuuma se označuje s $𝔠$. Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka ${\mathrm{\aleph }}_0$). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil.

$𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}>{\mathrm{\aleph }}_0$.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

$𝔠={\mathrm{\aleph }}_1={\beth }_1,$

kjer je:

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ kardinalnost naravnih števil (alef nič)
• $\beth$ število bet

Zunanje povezave

• Kardinalno število Predloga:Ikona en
• Kardinalnost na PlanethMath Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Kardinalnost na MathWorld Predloga:Ikona en
• Kardinalnost Predloga:Ikona en