Necentralna porazdelitev t

Necentralna t porazdelitev
oznaka
parametri	$\nu$ prostostne stopnje (realno število) $\mu$ parameter necentralnosti (realno število)
interval	$x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{{\nu }^{\nu /2}\exp \{-\frac{\nu {\mu }^2}{2(t^2+\nu )}\}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^2+\nu {)}^{(\nu +1)/2}}$ $\times \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\nu }\exp \{-\frac{1}{2}{(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu }})}^2\}dx$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	$\mu \sqrt{\frac{\nu }{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}\text{ za }\nu >1$ $\text{ za }\nu \le 1\text{ ne obstoja }$
mediana
modus
varianca	$\frac{\nu (1+{\mu }^2)}{\nu -2}-\frac{{\mu }^2\nu }{2}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}\right)}^2\text{ za }\nu >2$ $\text{ za }\nu \le 2\text{ ne obstoja }$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Necentralna t porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki je posplošitev Študentove t porazdelitve.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

$\frac{Z+\mu }{\sqrt{V/\nu }}=Z\sqrt{\nu /V}$

kjer je

• $Z$ normalno porazdeljena slučajna spremenljivka s pričakovano vrednostjo $0$ in varianco $1$
• $V$ slučajna spremenljivka, ki ima porazdelitev porazdelitev hi-kvadrat z $\nu$ prostostnimi stopnjami
• $Z$ and $V$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti necentralne t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za necentralno t porazdelitev je

$f(t)=\frac{{\nu }^{\nu /2}\exp \{-\frac{\nu {\mu }^2}{2(t^2+\nu )}\}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^2+\nu {)}^{(\nu +1)/2}}$

$\times \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\nu }\exp \{-\frac{1}{2}{(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu }})}^2\}dx$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $\nu >1$ enaka

$\mu \sqrt{\frac{\nu }{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}$ ,

za $\nu \le 1$ ne obstoja

Varianca

Varianca je za $\nu >2$ enaka

$\frac{\nu (1+{\mu }^2)}{\nu -2}-\frac{{\mu }^2\nu }{2}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu -1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}\right)}^2$ ,

za $\nu \le 2$ ne obstoja

Momenti

K-ti moment je za $\nu >k$ enak

${\left(\frac{\nu }{2}\right)}^{\frac{k}{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu -k}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}\text{exp}(-\frac{{\mu }^2}{2})\frac{d^k}{d{\mu }^k}\text{exp}\left(\frac{{\mu }^2}{2}\right)$

za $\nu \le k$ ne obstoja.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\mu =0$ postane necentralna t porazdelitev enaka Študentovi t porazdelitvi.
• Kadar ima slučajna spremenljivka $Z=T^2$ necentralno F porazdelitev, potem ima $T$ necentralno t porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka $Z$ ima normalno porazdelitev, če velja $Z=\underset{\nu \to \mathrm{\infty }}{\lim }T$, kjer pa ima $T$ necentralno t porazdelitev.

Zunanje povezave

• Vzorčni primeri in simulacija Predloga:Ikona en

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev