Obseg

Obseg je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat se govori o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje, kroga, srčnica. V takšnih primerih se še posebej obravnava dolžina loka krivulje.

Mnogokotniki

Obseg mnogokotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic.

Obseg trikotnika s stranicami dolžin a, b in c je:

$o=a+b+c.$

Obseg štirikotnika s stranicami dolžin a, b, c in d je:

$o=a+b+c+d.$

Obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico dolžine b in krakoma dolžine a ter pravokotnika s stranicama dolžin a in b je:

$o=2a+b,$

$o=2(a+b).$

Obseg pravilnega mnogokotnika z n stranicami dolžine a je:

$o=na.$

Obseg enakostraničnega trikotnika in kvadrata s stranicami dolžine a je tako:

$o=3a,$

$o=4a.$

Krožnica

Obseg krožnice je dan z njenim premerom d ali s polmerom r:

$o=\pi d=2\pi r,$

oziroma s ploščino kroga S:

$o=2\sqrt{\pi S}\approx 3,544908\sqrt{S}.$

Tu je π matematična konstanta pi.

Elipsa

Približki za obseg elipse z glavnima polosema a in b:

$o\approx 2\pi \sqrt{ab}$ (Kepler, 1609)

$o\approx \pi (a+b),$

$o\approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$ (Euler, 1773)

$o\approx \pi [\frac{a+b}{2}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}],$

$o\approx \pi [\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}]$

ali:

$o\approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)-\frac{1}{2}(a-b{)}^2}.$

Vsak približek je točnejši od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal Ramanudžan:

$o\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]=\pi (a+b)[3-\sqrt{4-h}],$

$o\approx \pi (a+b)[1+\frac{3{\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}^2}{10+\sqrt{4-3{\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}^2}}]=\pi (a+b)[1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}].$

kjer je h parameter:

$h={\lambda }^2,\lambda =\frac{a-b}{a+b}.$

Tudi tukaj je drugi približek točnejši. Malo manj točen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

$o\approx \pi (a+b){[1+\frac{h}{8}]}^2.$

Obseg elipse s parametrom λ je:

$o=\pi (a+b)[1+\frac{{\lambda }^2}{4}+\frac{{\lambda }^4}{64}+\frac{{\lambda }^6}{256}+\cdots ]=\pi (a+b)[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}\right)}^2{\lambda }^{2n}],$

oziroma s parametrom h:

$o=\pi (a+b)[1+\frac{h}{4}+\frac{h^2}{64}+\frac{h^3}{256}+\frac{25h^4}{16384}+\frac{49h^5}{65536}+\cdots ]=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})}^2{h}^n,$

približek pa (Hudsonova enačba, 1917):

$o\approx \pi (a+b)\frac{64-3h^2}{64-16h}.$

Hudsonovo enačbo po navadi pišejo s parametrom L:

$L=\frac{h}{4}=\frac{(a-b{)}^2}{(2(a+b){)}^2}$

$o\approx \frac{\pi }{4}(a+b)[3(1+L)+\frac{1}{1-L}].$

Glej tudi

• obseg (algebra)
• Zemljin polmer (obseg Zemlje)
• obseg (teorija grafov)

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Predloga:MathWorld