1 + 1 + 1 + 1 + ···

Vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Po glajenju

Asimptotično obnašanje glajenja. Premica seka os y v točki −1/2, kar je zeta-regularizirana vsota vrste.

1 + 1 + 1 + 1 + ··· je v matematiki divergentna geometrična vrsta, kar pomeni, da nima vsote v običajnem smislu. Njene delne vsote naraščajo brez meja in ne konvergirajo k realni limiti. Enake so naravnim številom Predloga:OEIS:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Z znakom za vsoto se lahko vrsto zapiše kot:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{1}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^0}$

ali preprosto:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$

Na zaporedje $1^n$ se lahko gleda kot na geometrično vrsto s količnikom 1. Za razliko od drugih geometričnih vrst z racionalnim količnikom (razen -1) ne konvergira v realnih številih in tudi ne v p-adičnih številih za poljuben p. V smislu razširjene realne premice je vsota enaka:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=+\mathrm{\infty },$

ker njeno zaporedje delnih vsot narašča monotono brez meja.

Če se vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ··· pojavi pri fizikalnih problemih, se jo lahko včasih predstavi s pomočjo regularizacije s funkcijo ζ. Njena vrednost je enaka vrednosti v točki s = 0 Riemannove funkcije ζ:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s},$

kjer sta dve neskončni vsoti enaki znotraj območja, v katerem obe konvergirata (kompleksna števila z realnim delom večjim od 1). Druga vsota zagotavlja analitično nadaljevanje funkcije ζ na kompleksna števila s pozitivnim realnim delom, limita druge vsote, ko gre s proti 0, pa je enaka -1/2. V tem smislu je tako:

$1+1+1+1+\cdots =\zeta (0)=-\frac{1}{2}.$

Elizalde je podal naslednjo anekdoto o odnosih do vrste:

»V kratkem obdobju manj kot enega leta sta imela dva priznana fizika, A. Slavnov in F. Yndurain, seminarja v Barceloni o dveh različnih temah. Nenavadno pri tem je bilo to, da sta oba predavatelja v nekem trenutku rekla poslušalcem: 'Kot vsakdo ve, velja: Predloga:Nowrap S tem sta morda hotela reči: Če tega ne veste, potem nima smisla da poslušate naprej.

Tudi njena ustrezna alternirajoča vrsta:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=1-1+1-1+\cdots ,$

včasih imenovana Grandijeva vrsta, je divergentna.

Glej tudi

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• 1 + 2 + 4 + 8 + ···
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ···

Viri

• Predloga:Navedi konferenco
• Predloga:Citat