Adjungirana matrika

Adjungirana matrika (tudi prirejena matrika) (oznaka $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ ali $A^{*}$, tudi $A^{†}$ in $A^H$) se za matriko $A$ izračuna tako, da

• določimo poddeterminante, ki jih označimo z $M_{ij}$
• določimo kofaktorje $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ oziroma matriko kofaktorjev $C$
• dobljeno matriko kofaktorjev transponiramo

S tem smo dobili adjungirano matriko matrike $A$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)={𝐂}^T$.

To pomeni, da je adjugirana matrika matrike $A$ z elementi $(i,j)$ je matrika kofaktorjev z elementi $(j,i)$ (pozor: zaporedje indeksov je obrnjeno).

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}_{ij}={𝐂}_{ji}$.

Adjungirana matrika igra podobno vlogo kot obratna matrika, vendar pri določanju te matrike ni potrebno deljenje.

Primeri

Splošna matrika $2\times 2$

Imamo splošno matriko $2\times 2$

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

Njena adjungirana matrika je

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Matrika $3\times 3$

Imamo matriko $A$ z razsežnostjo $3\times 3$

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$.

Matrika kofaktorjev

$𝐂=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$

Adjungirano matriko dobimo tako, da zgornjo matriko transponiramo:

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$

kjer je

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|=\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right)$.

Numerična matrika $3\times 3$

Za primer numerične matrike vzemimo:

$\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& -5\\ -1& 0& -2\\ 3& -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8& 18& -4\\ -5& 12& -1\\ 4& -6& 2\end{array}\right)$.

Lastnosti

Adjunginane matrike imajo naslednje lastnosti

• Adjungirana matrika enotske matrike je enotska matrika

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐈)=𝐈$

• Adjungirana matrika zmnožka matrik je enak zmnožku adjungiranih matrik

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀𝐁)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

za vse matrike $A$ in $B$, ki imajo razsežnost $n\times n$.

• Adjungiranje ohranja transponiranje:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^T$.

• Če je $𝐀$ nesingularna matrika, potem velja tudi

$\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1}.$

Adjugiranje se pojavlja tudi v obrazcih za odvod determinante.

Zunanje povezave

• Lastnosti matrik Predloga:Ikona en