Aritmetično-geometrična sredina

Aritmétično-geométrična sredína dveh realnih števil Predloga:Math in Predloga:Math je v matematiki srednja vrednost, določena na naslednji način:

Najprej se izračuna aritmetična sredina števil Predloga:Math inPredloga:Math. Označi se jo z Predloga:Math. Nato se izračuna njuno geometrično sredino in se jo označi z Predloga:Math - to je kvadratni koren produkta Predloga:Math:

$\begin{array}{cc}{a}_1& =\frac{1}{2}(x+y),\\ g_1& =\sqrt{xy}.\end{array}$

Nato se ta operacija iterira, tako da se namesto Predloga:Math vzame Predloga:Math, namesto Predloga:Math pa Predloga:Math. Na ta način sta določeni dve zaporedji Predloga:Math in Predloga:Math:

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n),\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}.\end{array}$

Ti dve zaporedji konvergirata k istemu številu, kar predstavlja aritmetično-geometrično sredino števil Predloga:Math in Predloga:Math. Označuje se jo z Predloga:Math, Predloga:Math in včasih Predloga:Math ali Predloga:Math.

To se lahko rabi za algoritemske namene v metodi AGM.

Zgled

Za izračun aritmetično-geometrične sredine števila Predloga:Math in Predloga:Math, se najprej izračuna njuno aritmetično in geometrično sredino:

$\begin{array}{cc}{a}_1& =\frac{1}{2}(23+7)=15,\\ g_1& =\sqrt{23\cdot 7}=12,68857754044952\dots .\end{array}$

Nato pa se iterira:

$\begin{array}{cc}{a}_2& =\frac{1}{2}(15+12,68857754044952)=13,84428877022476\dots ,\\ g_2& =\sqrt{15\cdot 12,68857754044952}=13,79596546482858\dots \\ \dots \end{array}$

Prve štiri iteracije dajo naslednje vrednosti:

Predloga:Math	Predloga:Math	Predloga:Math
0	23	7
1	15	12,68857754044952…
2	13,84428877022476…	13,79596546482858…
3	13,82012711752667…	13,82010599666786…
4	13,82011655709727…	13,82011655709323…

Aritmetično-geometrična sredina števil 23 in 7 je skupna limita teh dveh zaporedij, kar je približno 13,82011655709.

Zgodovina

Prvi algoritem na podlagi tega para zaporedij se je pojavil v Legendrovem delu. Njegove značilnosti je naprej raziskoval Carl Friedrich Gauss.

Značilnosti in uporaba

Geometrična sredina dveh pozitivnih števil ni nikoli večja od njune aritmetične sredine (glej neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin). Zaradi tega je Predloga:Math naraščajajoče zaporedje, Predloga:Math padajoče in velja Predloga:Math. To sta strogi neenakosti, če je Predloga:Math.

Predloga:Math je tako število med geometrično in aritmetično sredino števil Predloga:Math in Predloga:Math, še posebej je med Predloga:Math in Predloga:Math.

Pri Predloga:Math velja Predloga:Math.

Za Predloga:Math obstaja integralska oblika:

$\begin{array}{cc}\mathrm{M}(x,y)& =\frac{\pi }{2}/\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\\ & =\frac{\pi }{4}(x+y)/\mathrm{K}\left(\frac{x-y}{x+y}\right),\end{array}$

kjer je Predloga:Math popolni eliptični integral 1. vrste:

$\mathrm{K}(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}.$

Ker proces aritmetično-geometrične sredine konvergira tako hitro, prek te formule zagotavlja učinkovit način računanja eliptičnih integralov. V tehniki se na primer uporablja pri načrtovanju eliptičnih filtrov.

V programu za simbolno računanje Maple je aritmetično-geometrična sredina določena z GaussAGM(a, b), v programu Mathematica pa z ArithmeticGeometricMean[a, b].

Sorodni koncepti

Obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena iz 2 je Gaussova konstanta:

$\frac{1}{\mathrm{M}(1,\sqrt{2})}=G=0,8346268416740731862814297327990468\dots$

Na podobni način se lahko izračuna geometrično-harmonična sredina z zaporedjema geometrične in harmonične sredine. Tudi aritmetično-harmonična sredina se lahko podobno definira, zavzame pa enake vrednosti kot geometrična sredina.

Modificirano aritmetično-geometrično sredino je vpeljal in definiral Semjon Adlaj na strani 1094 izvoda Notices of the AMS septembra 2012. Izkazala se je za uporabno pri računanju popolnih eliptičnih integralov 2. vrste.

Glej tudi

• posplošena sredina
• neenakost aritmetičnih in geometričnih sredin
• Gauss-Legendrov algoritem

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat prvič objavljeno v L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), str. 275-330
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Kalkulator aritmetično-geometrične sredine Predloga:Ikona en
• Dokaz stopnje konvergence na PlanetMath Predloga:Ikona en